n” si y solo si “n < m”, o sea m - n ∈ ℝ . es indeterminado . Ejemplo 2 La división para cero no 12 > 6, si y solo si, al realizar 12 – 6, el resultado en este caso 6 pertenece a los números está permitida, por lo que reales positivos. no se puede realizar. 16 DBA 1 (Ev .2) Identifica la diferencia entre exactitud y aproximación en las diferentes representaciones de los números reales.]]> 0, se define a mn = a m . n En los gases, la ecuación de la velocidad del Las leyes con exponentes enteros también se cumplen para los exponentes racionales. sonido es donde g es el coeficiente de dilatación adiabática, 4.2 Introducción y extracción de factores de un radical R la constante universal Introducción Extracción de los gases, T la temperatura en kelvin, y Para introducir factores en un radical, se Para extraer factores de un radical, se M la masa molar del gas. elevan los factores al índice de la raíz. descompone el radicando en factores. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Responde: ¿qué Ejemplo 2 Luego, se extraen aquellos factores que tienen raíz exacta. propiedad de los radicales se puede aplicar en esta a. Ejemplo 3 ecuación? b. 4.3 Operaciones con radicales Adición de radicales Ejemplo 4 Como son radicales semejantes, a. Sumar: aplicamos la propiedad distributiva: Competencia matemática . • Para sumar o restar Agrupamos los términos de acuerdo radicales, es necesario b. Sumar: con los radicales semejantes y que sean radicales sumamos: semejantes, es decir, . que tengan la misma cantidad subradical y el Por extracción de factores, mismo índice. c. Sumar: transformamos a radicales semejantes: • Para multiplicar varios radicales que tienen el mismo índice, aplicamos la propiedad de los radicales. Si los radicales tienen 4.4 Multiplicación de radicales diferente índice, los reducimos a un índice Ejemplo 5 común. Multiplicar . Transformamos a índice común obteniendo el m.c.m. de los índices: m.c.m. (3, 4, 6) = 12 . 28]]> 0, c > 0, multiplica el numerador y el denominador por la conjugada del denominador, multiplica el numerador en este caso, por y el denominador por la conjugada del 2 2 7 3 . denominador. 7 3 7 3 7 3 Así: número irracional , la conjugada Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta es: . Utiliza el producto notable (a + b)(a – b) = a² – b² para obtener el resultado del denominador. Y la conjugada de es: 2 2 7 3 ( 2 7 3 ) 2 7 3 7 3 7 3 ( ) ( ) 2 3 7 número irracional ( 2 7 3 ) ( 2 7 3 ) 7 3 . 73 4 2 número racional b. c. d. e. 32]]>, <, ≥ y ≤. desigualdad de dos cantidades, tal que la una 1.1 Ecuaciones de primer grado es mayor que la otra. Los En un salón de clases, la cuarta parte son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. símbolos <, >, ≥ y ≤ se ¿Cuántos estudiantes tiene el salón de clases? Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta denominan signos de la desigualdad. Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático: la variable x representa el número de estudiantes en el salón de clases. x x La cuarta parte: —. La mitad excedida en 3: — + 3. 4 2 x x Entonces, la ecuación buscada es: + +3 = x . 4 2 Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + b = c, donde a, b y c son números reales y el grado de la incógnita x es 1. Resolverla significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad. A continuación, resolveremos la ecuación planteada anteriormente. Primero, eliminamos paréntesis. Competencia x + x + 6 = x Luego, resolvemos la suma de fracciones y eliminamos el deno- matemática 4 2 minador aplicando la propiedad del inverso multiplicativo. El símbolo ∞ significa x + 2x +12 = x infinito, es decir, no 4 Después, transponemos los términos agrupando las variables en tiene fin. 3x +12 = 4x la izquierda y las constantes (números) en la derecha. +∞: significa más infinito. x 3– 4x –12 –∞: significa menos Finalmente, despejamos la variable x y multiplicamos los dos infinito. –x –12 miembros de la igualdad por (–1). x 12 1.2 Propiedades de las ecuaciones Propiedad Enunciado Si a = b, entonces Una igualdad no cambia si se le suma o se le resta un a ± c = b ± c. mismo número a cada miembro. Si a = b y c ≠ 0, entonces Una igualdad se mantiene si se multiplica o divide por ac = bc. un mismo número distinto de cero en cada miembro. 46]]> b a − b es positiva a ≥ b a > b o a = b a < b a − b es negativa a ≤ b a < b o a = b Competencia 1.4 Propiedades de las desigualdades matemática La ley de tricotomía Propiedad Expresión algebraica Ejemplos dice que si a y b son Una desigualdad no cambia 8 < 10; 8 + 4 <10 + 4; dos números reales de sentido si se suma o se Si a < b, entonces, 12 < 14 cualesquiera, se cumple resta un mismo número a cada a ± c < b ± c. 1 > –7; 1 – 5 > –7 – 5; solo una de las siguientes relaciones: miembro. –4 > –12. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Una desigualdad no cambia 3 < 7; 3(2) < 7(2); a > b, a = b; a < b. de sentido si se multiplican o Si a < b y c es un número se dividen sus dos miembros positivo, entonces, ac< bc. 6 < 14 por un mismo número c > 0. 4 > –2, 4(5) > –2(5); positivo. 20 > –10. Una desigualdad cambia de Si a < b y c es un número –5 < 2, –5(–3) > 2(–3), sentido cuando se multiplican negativo, entonces, ac > bc. 15 > –6 o se dividen sus dos miembros 8 > 3, 8(–10) < 3(–10), por un número negativo. c < 0. –80 < –30 . 1.5 Tipos de intervalos Intervalo Interpretación Notación Conjunto Representación gráfica No incluye los extremos Abierto. (a, b) o ]a, b[ {x ∈ ℝ / a < x < b} –∞ a b ∞ a y b. Sí incluye los extremos a Cerrado. [a, b] {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} –∞ a b ∞ y b. Semiabierto por No incluye el extremo (a, b] o ]a, b] la izquierda. izquierdo a. {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} –∞ a b ∞ Semiabierto por No incluye el extremo [a, b) o [a, b[ la derecha. derecho b. {x ∈ ℝ / a ≤ x < b} –∞ a b ∞ Abierto a la No incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a +∞. (a, +∞) o ]a, +∞[ {x ∈ ℝ / x > a} –∞ a b ∞ a más infinito. Tiende a menos No incluye el extremo infinito y abierto a derecho y tiende a –∞. (–∞, a) o ]–∞, a[ {x ∈ ℝ / x < a} –∞ a b ∞ la derecha. Cerrado a la Sí incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a +∞. [a, +∞) o [a, +∞[ {x ∈ ℝ / x ≥ a} –∞ a b ∞ a más infinito. Tiende a menos Sí incluye el extremo infinito y cerrado derecho y tiende a –∞. (–∞, a] o ]–∞, a] {x ∈ ℝ / x ≤ a} –∞ a b ∞ a la derecha. (Ev.) Utiliza las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones de primer grado. 47]]> 8 – x incluyen en la solución. 3 4 d. Si a > b y b > c, entonces a < c. c. –3x ≤ 3 – x ≤ 5x + 2 5 2 3. Escribe la igualdad o desigualdad para cada d. 1 < –x – < x + 4 3 6 enunciado. 3 1 e. 5(x + 3) ≥ (x + 2)(5) > –3x – 1 a. Veinticuatro es mayor o igual que un número. 2 f. 6 – 2x ≥ 0 b. La cuarta parte de un número aumentado en cinco es igual a 30. g. 3x + 5 ≥ 2x – 19 c. Un número es mayor o igual a –2 y menor que 7. h. 3x + 5 < x + 15 d. Seis veces un número disminuido en 3 es igual a i. 3(x + 2) ≥ 2(x – 1) 56. 1 4. Resuelve las siguientes ecuaciones. j. 1 3 x 2 a. x – 5( 2x – 3) = 3(x – 1) + 4 k. 3(1 – 2x) < 2x – 5 ( 2 x 5) b. 4 5x 2 l. 25 – x > 3(x + 8) 3 x 2 m. 5x – 2 ≤ –x + 6 c. 3 5(3 x 2) 5 d. 3 (x 4 ) 10 13 – x 6. Expresa el intervalo como una desigualdad en la variable x. e. 2x – 15 = 5 a. (–5, 8) f. 2x – 15 = 3x + 3 b. (– , 3] g. 7y + 8y – 9 = 4 + 2 c. [4, ) 1 3 h. x d. [–7, 12] 5 5 e. [0, 8) 2 4 i. x 5 f. (1, 6] 48]]> – x – 1 ≥ 4 2 1 2 h. e. 3x + 0,6 < 1,2x – 1 < x + 3,4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 f. 2 + x + 3 < x + 2 ≤ 5(x – 4) 4 2 8. Determina qué números enteros se encuentran en g. 2x – 5 > 3x + 2 cada intervalo. a. – 2, 2 ) c. (–2p, p) Actividad indagatoria ) 7 b. – , 1 ) d. [0,3; 5[ Indaga y escribe. ¿Cuándo una ecuación es 2 2 incompatible? 49]]> 0 • Graficamos la recta y = –2x + 6. Para ello, y Semiplano ax + by + c ≤ 0, buscamos las intersecciones con los ejes 8 superior ax + by + c ≥ 0. coordenados. Como la desigualdad tiene el Semiplano 6 inferior signo <, representamos la recta con 4 Frontera La solución de una P(–1, 3) inecuación lineal con dos línea punteada para indicar que los puntos 2x + y < 6 2 P(4, 2) variables es el conjunto de que forman la recta no pertenecen al –6 –4 –2 0 2 4 6 x pares ordenados conjunto solución. –2 (x, y) que satisfacen la Si x = 0, y = 6, (0, 6). igualdad, por lo tanto, Si y = 0, x = 3, (3, 0). corresponde a la región sombreada bajo o sobre • Tomamos un punto sobre o bajo la recta y reemplazamos en la inecuación para la recta. determinar si satisface la inecuación. P(4, 2) 2x + y < 6 P(–1, 3) 2x + y < 6 2(4) + 2 < 6 2(–1) + 3 < 6 10 < 6 1 < 6 10 no es menor que 6. El punto P(–1, 3) satisface la inecuación. El punto (4, 2) no satisface la inecuación. Pintamos la región donde se encuentra el punto. La gráfica de una inecuación lineal con dos variables son semiplanos con una línea recta como frontera. Ejemplo 1 2x – 3y ≥ 12 2x – 3y < 6 y ≥ 0 x > 0 y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2x – 3y < 6 2 2 y ≥ 0 2 2 x > 0 x x x x –2 0 2 4 6 –2 0 2 4 6 –4 –2 0 2 4 –2 0 2 4 6 –2 –2 –2 –2 2x – 3y ≥ 12 –4 –4 –4 –4 La frontera de la región es la La frontera de la región es la La frontera de la región es la La frontera de la región es la recta continua 2x – 3y = 12, recta punteada 2x – 3y = 6, recta y = 0, es decir, el eje x. recta x = 0, es decir, el eje y. porque la desigualdad es ≥. porque la desigualdad es <. 50]]>, <”, se representa con una línea punteada. Esto quiere decir que los puntos de la recta no forman parte de las soluciones de Las inecuaciones lineales con dos incógnitas proporcionan la inecuación. un marco matemático para resolver problemas reales, por ejemplo, dos grupos en Ejemplo 2 conflicto necesitan compartir recursos de agua y alimentos 1. Encontrar el conjunto solución de la inecuación: . con ciertas restricciones para evitar tensiones. Solución Inecuaciones: 1. Total de recursos no debe Cambiamos el signo de la desigualdad por “=” y graficamos. exceder el suministro Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta disponible: y x + y ≤ 500 1 Como la inecuación tiene el símbolo ≥, repre- 2. Mínimo de agua necesario: x ≥ 200x sentamos la recta con una línea continua para –2 –1 0 0 1 2 3 4 5 6 x 3. Mínimo de alimentos indicar que los puntos de la recta pertenecen necesario: y ≥ 150 a la solución. –1 Una distribución justa de recursos que prevenga Si x = 4, y = 0; (4, 0), sí pertenece a la recta. –2 conflictos y asegure que Si x = 0, y = –2; (0, –2), sí pertenece. –3 ambos grupos reciban lo necesario. Tomamos un punto sobre o bajo la recta. P (5, 2); 2x – 4y ≥ 8 P (2, –3); 2x – 4y ≥ 8 Glosario 2(5) – 4(2) ≥ 8 2(2) – 4(–3) ≥ 8 Continua. Línea que no 2 ≥ 8, falso 16 ≥ 8, verdadero tiene interrupciones. No satisface la inecuación. Satisface la inecuación, la solución es la parte sombreada. Región. Espacio limitado que cumple una determinada 2 1 2. Hallar el conjunto solución de la inecuación: x 2 x 2y <3y 5. condición o 3 4 circunstancia. Solución Graficamos la recta con Encontramos la región una línea punteada. solución, tomando los 2 x 2 x 8y <3y 5 puntos: 3 4 1 y 2 x x 8y <3y 5 0 P (0, 1) 3 2 –10 –5 0 5 10 x 0 + 6(1) < –30 4x 3x +24y <3y 5 –5 6 < – 30, falso 6 No satisface. x +24y <18y 30 –10 P(1, –10) x +6y < 30 1 + 6(–10) < –30 Cambio el signo de la La solución de la 1 – 60 < –30 inecuación por “=”: inecuación es la parte – 59 < –30 x + 6y = –30 sombreada. Satisface la inecuación. (Ev.) Grafica inecuaciones lineales con dos incógnitas. 51]]> 4 mostradas. A(4, 0) B(0, –1) C(0, 1) D(–2, –1) a. x + 3y ≥ 6 y 1 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x b. y – x ≥ 3 –1 –2 A(0, 2) B(1, 1) C(1, 3) D(0, 3) –3 –4 c. 5x – 3y < 4 b. 3x + 4y > x – y + 2 y A(2, 1) B(1, –1) C(2, 2) D(0, 1) 2 1 0 d. –12x – 4y > 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 A(0, 0) B(0, –1) C(2, 2) D(–1, 3) Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta –3 3. Encuentra la inecuación lineal en dos variables que describa la representación gráfica. Observa el c. 3x – 5y ≤ 8 y 2 ejemplo. 1 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x y –1 6 –2 –3 4 2 d. y < 8x + 2 MUESTRA EDITORIAL y 3 x 2 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 1 –2 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 Encontramos la ecuación de la recta que pasa por –2 dos puntos. 1 e. y ≥ x – 3 2 y A(2, 0) y B(0, 5) 2 1 y – 5 5 – 0 0 = –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x x – 0 0 – 2 –1 –2 y – 5 5 –3 x = –2 f. x + y ≥ 2 y 5x + 2y = 10 2 1 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x Tomamos un punto de la parte sombreada y reem- –1 –2 plazamos en la ecuación. –3 –4 P(3, 0) 5(3) + 2(0) > 10; 15 > 10, verdadero. g. 4x – 3y ≤ 12 y Tomamos el signo > porque la frontera es una rec- 2 1 ta punteada. 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 La inecuación lineal en dos variables es: –3 5x + 2y > 10 –4 52]]> 7 2 –4 –6 –4 –2 x Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta –6 2 4 6 –2 –4 c. y –6 4 2 3. y 4 x –4 –2 2 4 6 8 10 2 –2 c. 4x – 9y < 2 x –4 –4 –2 2 4 6 8 10 –2 –6 –4 –6 d. y –8 3 2 1 4. y 6 x –3 –2 –1 1 2 3 4 4 –1 2 –2 d. x – 12y > 0 x –3 –6 –4 –2 2 4 6 –2 –4 e. y –6 6 4 2 –6 –4 –2 6. Problema-decisión. Analiza y decide cuáles de las x 2 4 6 –2 siguientes afirmaciones son verdaderas. –4 –6 a. Una inecuación lineal con dos incógnitas siempre tiene solución. Trabajo colaborativo b. La solución de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano. Trabajen en equipo y resuelvan gráficamente. c. En la inecuación 2x + y > 0, los puntos de la recta a. 0,2x + y < 3,4y – 5 frontera son parte de la solución de la inecuación. b. y ≥ 0 Actividad indagatoria c. 1 x – 2y ≤ 12(y – 1) 4 Indaga al menos tres aplicaciones de las inecuaciones en la vida cotidiana. 53]]> 4 P(2, –4) 2 – (–4) > 4 entonces 6 > 4 3x + 2y < 3 3(2) + 2(–4) < 3 –2 < 3 Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones: ax + by + c > 0; ax + by + c < 0; ax + by + c ≥ 0; ax + by + c ≤ 0. El par ordenado (x, y) es solución del sistema si satisface simultáneamente a todas las inecuaciones. A la región solución, si existe, se le llama región factible. Si es vacía, el sistema es incompatible. Resolvemos el siguiente sistema de inecuaciones lineales con dos incóginitas. Sistema de Representamos gráficamente. Sombreamos la solución de cada inecuación y busca- inecuaciones mos la intersección de las regiones sombreadas. lineales x = 1, recta paralela al eje y. y = 3, recta paralela al eje x. y x > 1 x + y = 2, (0, 2) y (2, 0). 6 y > 3 4 x + y ≤ 2. y 2 6 x = 1 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 x –2 4 y = 3 2 –4 x –6 –4 –2 0 2 4 6 En esta representación gráfica no existe una región –2 común para las tres inecuaciones. Por lo tanto, el siste- –4 x + y = 2 ma es incompatible. 54]]> 2x y ≥ 2x – 3 2y < 5x – 1 -4 -2 2 4 6 8 • Encuentren el sistema de inecuaciones lineales que -2 forma la región factible. b. y 5 4 c. 3 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 6 2 5 1 4 x –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 3 –1 2 1 c. y 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 3 2 1 4. Representa gráficamente la región solución del x sistema. –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 a. –2 • Problema-decisión. Resuelvan el siguiente problema: Una panadería produce dos tipos de figuras de pan: b. pequeña y grande. Para elaborar la figura pequeña, se necesita una hora; para la figura grande, tres horas. Cada figura también debe ser decorada. Para decorar la figura pequeña, se necesita una hora; para la figura grande, también una hora. La panadería dispone de 2 horas y 5 horas para 5. Rosa ha decidido criar pollos y patos en el patio de decorar. La ganancia por unidad es de $2 para la su casa. Ella tiene $30 y desea comprar al menos 16 figura de pan pequeña y $3 para la grande. ¿Cuál animalitos pequeños. Cada pollito cuesta $1 y cada sería tu decisión en la planificación de producción patito $1,50. para obtener un máximo beneficio? a. Escribe un sistema de desigualdades que repre- sente al problema. Actividad indagatoria b. Identifica las posibles combinaciones de com- pras usando una gráfica. Indaga en qué consisten los problemas de optimización. 57]]> y} a. A 3 B d. C 3 D c. R2 = {(x, y) [ M 3 N / y = x + 1} b. A = {1, 2, 3}MUESTRA EDITORIAL b. A × C e. B × D 8. Representa aparte gráficamente en un diagrama sagital la relación M × N del ejercicio 7. c. B × C f. A × D 9. Completa con argumentos la siguiente tabla. Relación R 3. Determina el producto cartesiano que se solicita sobre A No se cumple cuando en cada literal, dados los siguientes conjuntos. A = {n, s, v}, B = {a, e}, C = {1, 2}, D = {1, 2, 3, 4} Reflexiva a. A × B = Simétrica b. B × C = c. A × D = Transitiva d. D × A = 10. Describe las propiedades de las siguientes e. A × A = relaciones utilizando las siguientes letras: R 4. Dados los conjuntos A = {1, 3}, B = {2, 4, 6}, determina (reflexiva), S (simétrica), T (transitiva). y representa el diagrama cartesiano y el diagrama a. A A sagital de A × B. a a 5. Representa el producto cartesiano A × B y A × A b b utilizando los diagramas sagital y cartesiano. c c a. A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} d d 98]]> (x ) x < x ; entonces, (x ) = (x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (x) (x) (x) (x ) 2 (x1) = (x2) (x1) (x ) 1 (x2) 0 x 0 x 0 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x 105]]> 0. MUESTRA EDITORIAL 4.1 Pendiente de la recta La pendiente es la razón de cambio entre el desplazamiento vertical y el 5 m Ascenso desplazamiento horizontal. 3 m desplazamiento vertical 4 m Pendiente m = desplazamiento horizontal Avance Horizontal Por ejemplo, si una persona sube por una superficie inclinada de pendiente ¾, significa que asciende 3 m y se desplaza 4 m hacia la derecha. Según el teorema de Pitágoras, se desplazó 5 m sobre la trayectoria inclinada. Descenso 5 m 13 m Ahora, supongamos que una persona baja por una superficie inclinada de pendiente –5/12. Esto significa que desciende 5 m y se mueve 12 m hacia la 12 m derecha, es decir, recorrió 13 m sobre la trayectoria inclinada. Avance Archivo editorial Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Horizontal La pendiente m es la inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas. La pendiente m de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas en sentido positivo. Competencia matemática 4.2 Cálculo de la pendiente y P (x , y ) m = tg( ) La pendiente de una recta y 2 2 2 2 ∆y es la tangente del ángulo m = tg( ) = que forma la recta con la ∆y = y – y 1 ∆x dirección positiva del eje 2 P (x , y ) m = y 2 – y 1 de abscisas. y 1 1 1 x – x 1 2 1 ∆x = x – x m = tan (α). 2 1 La tangente de un ángulo 0 x 1 x 2 x es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Ejemplo 1 Responde: ¿cuál es la Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(5, 4). función inversa de la tangente? y 4 – 2 2 6 m = y 2 – y 1 = 5 – 3 = 2 = 1 x – x (5, 4) 2 1 4 B (3, 2) m = arctan (1) = 45° 2 A D x La pendiente de la recta es 1 y corresponde a –2 –1 0 2 4 6 8 un ángulo de inclinación con el eje x de 45°. –2 4.3 Interpretación geométrica de la pendiente de la recta Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula Pendiente no definida y = ax + b y = –a x + b y = b y y y y x x x x Si la recta es perpendicular al Si la recta es creciente, la Si la recta es decreciente, la Si la recta es constante, la eje x, la pendiente no está pendiente es positiva y se pendiente es negativa y se pendiente es nula y es definida o es infinita. Forma inclina a la derecha. inclina a la izquierda. paralela al eje x. un ángulo de 90º con el eje x. m = –a, m < 0. m = 0. m no está definida. 109]]> 0, la curva estará abierta hacia Si a > 0, las curvas irán hacia arriba, y la arriba. gráfica estará en el primer y segundo cuadrante. Exponente impar positivo Exponente impar negativo La gráfica es una curva simétrica con La función tiene dos asíntotas, que son respecto al origen. los ejes x e y. y y 4 2 3 1 2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 1 -1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1 -2 -3 -3 -4 Si a < 0, la gráfica se encuentra en el se- Si a < 0, la gráfica estará en el segundo y gundo y cuarto cuadrante y la función cuarto cuadrante. La función es es decreciente. creciente. Si a > 0, la gráfica se encuentra en en el Si a > 0, la gráfica estará en el primer y primer y tercer cuadrante y la función es tercer cuadrante. La función es decre- creciente. ciente. 112 DBA 2 (Ev. 3) Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones]]> f(x2). negocio implica un aumento en el valor y éxito a lo largo del tiempo. Se refleja en el f(x ) 1 aumento de ingresos, f(x ) expansión de mercado, 2 y escalabilidad. 0 x x x • Similar a una función 1 2 decreciente, los Modelos matemáticos desafíos empresariales Cuando un jugador de baloncesto salta para encestar, la altura del jugador f(t) en pies y las caídas en el rendimiento son desde el piso después de t segundos está dada por la fórmula: inevitables. Los 1 negocios pueden f(t) = – gt + 16t, 2 2 enfrentar retrocesos donde g es la constante gravitacional y equivale a 32 pies/s . ¿En qué intervalo de tiempo debido a la 2 el jugador se eleva para encestar?, ¿en qué intervalo de tiempo el jugador baja luego de competencia, cambios encestar? en el mercado o decisiones estratégicas 1 Realicemos la gráfica de la función f(t) = – gt + 16t. incorrectas. 2 2 Como g = 32 pies/s : f(t) = –16t + 16t Identificar tendencias 2 2 y puntos críticos, y la f(t) habilidad para adaptarse y tomar decisiones t f(t) 4 estratégicas son cruciales 0 0 3,5 para asegurar el éxito 0,2 2,56 3 creciente continuo de cualquier 0,4 3,84 2,5 decreciente emprendimiento. 2 0,5 4 1,5 0,6 3,84 1 0,8 2,56 0,5 1 0 0 t(s) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 El jugador se eleva para encestar entre [0 ; 0,5] segundos y desciende en un intervalo de tiempo comprendido entre [0,5 ; 1] segundos. 113]]> 0 (positivo), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo 6 que es el vértice. x < 0 5 Eje de simetría a > 0 • Si a < 0 (negativo), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo Curva Cóncava decreciente 4 hacia arriba que es el vértice. 3 Cortes de la parábola con los ejes coordenados: son los puntos donde la función es 2 x > 0 vértice Curva cero. Para hallar el corte con el eje x, se tiene f(x) = 0 y se resuelve la ecuación: 1 creciente ax 2 + bx + c = 0. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x El corte con el eje y es (0, c), cuando x = 0. –1 x < 0 a < 0 Curva –2 Cóncava Eje de simetría: es la recta que divide simétricamente a la b b creciente –3 hacia abajo V ,f parábola; está dado por la ecuación: 2a 2a –4 x > 0 –5 Curva Vértice (V): es el punto de corte del eje de simetría con decreciente –6 la parábola; tiene como coordenadas: –7 La función f(x) = ax 2 tiene: Dominio: ℝ f(x) = –ax 2 Recorrido: . 116 DBA 2 (Ev. 3) Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones. EC. Reconoce una función lineal, construye su gráfica en el plano cartesiano y halla sus principales atributos (pendiente, intersecciones con los ejes, etc.).]]> 0 se puede decir: si c > 0, 2 1 y = x – 2 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta x la función se desplaza c unidades hacia arriba. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1 Si c < 0, la función se desplaza c unidades hacia abajo. Dos unidades –2 hacia abajo. El dominio son todos los reales, los ℝ. Vértice (0, –c): (0, –2) El recorrido: si a > 0, y ≥ c, si a < 0, y ≤ c. Eje de simetría, eje y. Vértice (0, c). Desplazamiento horizontal de la función cuadrática de la forma f(x) = (x + h)2 Trazamos y analizamos la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: f(x) = (x + 4)2, g(x) = (x – 2)2. Graficamos la función y = x . 2 f(x) y = (x + 4) 2 y = x 2 y = (x – 2) 2 6 La gráfica de y = (x + 4) indica que la gráfica inicial y = x se desplazó 2 2 5 hacia la izquierda 4 unidades y la gráfica de y = (x – 2) indica que se 2 4 desplazó hacia la derecha 2 unidades. 3 2 Cuatro 2 Dos unidades En forma general, en la función f(x) = (x + h) . Si h > 0, se desplaza la unidades 1 a la derecha gráfica y = x hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, se desplaza la 2 a la izquierda –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x función inicial a la derecha h unidades. –1 Ejemplo 1 Graficamos la función y = x 2 – 2x – 3. Luego, determinamos la concavidad, eje de simetría, vértice, dominio y recorrido de la función. Reconocemos en la función y = x 2 – 2x – 3, los coeficientes: a = 1, b = –2 y c = –3. f(x) 1 > 0 5 cóncava hacia arriba Determinamos el vértice de la parábola: . 4 b 3 f = f(1)=1 2(1) 3= 4;V(1, 4) 2 creciente 2a 1 eje de simetría x = 1 [1, +∞) Determinamos la ecuación del eje de simetría. , x = 1. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x decreciente –1 (–∞, 1] –2 Tomamos valores de x a los dos lados del eje de simetría. Elaboramos una tabla V(1, –4) –3 de valores y graficamos. –4 V Dom: todos los ℝ Rec: [–4, + ∞) 117]]> 0, existen dos soluciones reales diferentes. 4 D < 0, la ecuación no tiene − ac soluciones reales. Las raíces de la ecuación cuadrática son: x = 2 a 122 DBA 3 (Ev. 1 G. 10) Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas.]]> 0 Discriminante: b – 4ac = 0 Discriminante: b – 4ac < 0 2 2 2 Discriminante positivo Discriminante nulo Discriminante negativo Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Dos raíces reales diferentes Raíces reales iguales No hay raíces reales Ejemplo: x + x – 6 = 0 Ejemplo: x – 6x + 9 = 0 Ejemplo: x – 3x + 5 = 0 2 2 2 Analizamos el discriminante. Analizamos el discriminante. Analizamos el discriminante. a = 1, b = 1, c = –6 a = 1, b = –6, c = 9 a = 1, b = –3, c = 5 b – 4ac > 0 b – 4ac = 0 b – 4ac < 0 2 2 2 2 2 2 1 – 4(1)(–6) > 0 (–6) – 4(1)(9) = 0 (–3) – 4(1)(5) < 0 1 + 24 > 0 36 – 36 = 0 9 – 20 < 0 25 > 0 0 = 0 –11 < 0 La ecuación tiene dos raíces reales La ecuación tiene única solución, La ecuación no tiene solución real. diferentes. las dos raíces son reales e iguales. Graficamos la función cuadrática: Graficamos la función cuadrática: Graficamos la función cuadrática: y = x – 3x + 5 2 y = x + x – 6 y = x – 6x + 9 2 2 y y y 7 10 2 6 10 9 y = x – 3x + 5 2 y = x – 6x + 9 5 9 8 2 y = x + x – 6 4 8 7 3 7 6 2 6 5 1 5 4 x 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 3 –1 3 2 –2 2 1 –3 1 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –4 x –1 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –5 –1 –2 –6 –2 La parábola no corta el eje de las x, Los puntos (–3, 0) y (2, 0) son los cortes El punto de corte de la parábola con el por lo tanto, la ecuación no tiene de la parábola con el eje x, y son las eje x es (3, 0), que es el vértice de la soluciones reales. soluciones de la ecuación: parábola. La ecuación tiene dos raíces x = –3 y x = 2. reales iguales: x = x = 3. 1 2 1 2 125]]> 0 con a ≠ 1 fijo. La función u: n se llama verifican para la función n  a Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta exponencial de base a y función exponencial de base a y de variable entera. de variable racional. Propiedades Nota que: r ∈ ℚ ⇔ ∃m, n ∈ ℤ i. u(0) = a = 1, a > 0. 0 m con n ≠ 0, tal que r = , ii. Para todo n ∈ ℤ, u(n) = a > 0. n r m n v(r) = a = a n m n 1 m m 1 iii. Para todo m, n ∈ ℤ, u(m + n) = a m+n = a a = u(m)u(n). n = (a ) = (a ) . n El grafo de v es el iv. Si a > 1 y n , n ∈ ℤ, tal que n < n , entonces u(n ) = a 1 < a 2 = u(n ), es decir que la n n 1 2 1 2 2 1 conjunto MUESTRA EDITORIAL función u es creciente. G(v) = {(r, a ) | r ∈ ℚ}. v. Si 0 < a < 1 y n , n ∈ ℤ, tal que n < n , se tiene u(n ) = a 1 > a 2 = u(n ), esto es, la r n n Escribe las propiedades función u es decreciente. 1 2 1 2 1 2 de a con r ∈ ℚ y a > 0, r + n a ≠ 1. vi. Para a > 1 y n ∈ ℤ , el número real u(n) = a es tan grande como se quiera según n lo sea, y u(–n) = a es positivo y tan pequeño como se quiera para n suficientemente –n grande. + vii. Para 0 < a < 1 y n ∈ ℤ , el número real u(n) = a es tan pequeño como se quiera para n n suficientemente grande, y u(–n) = a es tan grande según n también lo sea. –n El gráfico de u es el conjunto discreto G(u) = {(n, a ) | n ∈ ℤ}. n Ejercicio 1 Consideremos la función definida como u(n) = 5 ; n ∈ ℤ. n + 0 Tenemos u(0) = 5 = 1, u(n) > 0, ∀n ∈ ℤ, más aún, u(n) = 5 ≥ 5, ∀n ∈ ℤ , n 1 + 0 < u(–n) = 5 = < 1, ∀n ∈ ℤ . –n 5 n Verifiquemos que u es estrictamente creciente. Para n , n ∈ ℤ, tal que n < n , existe 1 2 2 1 p ∈ ℤ , tal que n = p + n . Luego, + 1 2 u(n ) = 5 2 = 5 p+n 1 = 5 u(n ). p n 2 1 Como 5 > 1, se sigue que u(n ) < u(n ). Así, n < n ⇒ u(n ) < u(n ). p 1 2 1 2 1 2 El grafo de u es el conjunto G(u) = {(n, 5 ) | n ∈ ℤ}. n ℚ  ℝ Sea a > 0 con a ≠ 1 fijo. La función v: r  v(r)  a r Se llama función exponencial de base a y de variable racional (variable independiente). 136 DBA 3 (Ev. 1 G. 10) Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas. EC. Reconoce una función exponencial, construye su gráfica en el plano cartesiano, describe sus características e identifica sus componentes principales.]]> 0 con a ≠ 1 fijo. Para x ∈ ℝ \ℚ, ¿cómo se define a ? matemática x x ¿Qué significado atribuimos a a ? En la Figura 1., se Consideramos, por ejemplo, 2 . Tomando aproximaciones de 2 ( 2 ≅ 1,414 213 562), representa la gráfica de y 2 tenemos las siguientes: cuando 0 < a < 1. 2 ≅ 2,657 376 28, y 1,41 2 1,4142 ≅ 2,665 119 089, 2 1,414213 ≅ 2,665 143 104, 2 1,41421356 ≅ 2,665 144 138, ∙ y = a x 2 ≅ 2,665 144 143. 1 2 0 x En definitiva, consideramos aproximaciones de 2 m siendo (r ) una 0 < a < 1 r Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta m sucesión de números racionales que son aproximaciones de 2 y que convergen a 2 , En la Figura 2., se de modo que, en forma intuitiva, representa la gráfica de y, a > 1. rm 2 2 = lím 2 , y r  2 . y m m→∞ m→∞ r Observa que r ∈ ℚ y 2 m están bien definidos. m De manera general, a se aproxima con una sucesión de números reales de la forma a m , 1 y = a x r x siendo r ∈ ℚ aproximación de x, de modo que r converge a x para m que tiende al m m infinito. 0 x a > 1 + Definición. Sea a > 0, a ≠ 1 fijo. La función f de ℝ en ℝ , definida de la siguiente manera: A la función exponencial f(x) = a , x ∈ ℝ, de base a se le denota x también Exp , esto es, a Se llama función exponencial de base a. ℝ  ℝ + Exp : Dom(f) = ℝ, Rec(f) = {f(x) | x ∈ ℝ} = ]0, ∞[. a x  exp (x) = a . x a Las propiedades que Ejercicios 2 hemos precisado para la función ℝ  ℝ + 1. Considerar la función f: . Tenemos Dom(f) = ℝ, v(r) = a , r ∈ ℚ se r x  f(x) = 2 x verifican para la función Rec(f ) = ]0, ∞[. El grafo de f es el conjunto G(f) = {(x, 2 ) | x ∈ ℝ}. f(x) = a , x ∈ ℚ. x x Algunos valores de f se muestran en la tabla. Con dichos valores obtenemos algunos puntos de G(f). 1 f(–3) = 2 = = 0,125; f(0) = 2 = 1; f(3) = 2 = 8. 0 3 –3 2 3 x –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) = 2 0,125 0,25 0,50 1 2 4 8 x Nota que si n > 1 es suficientemente grande, f(n) = 2 es tan grande n 1 –n como se quiera, y f(n) = 2 = , se aproxima a cero como se quiera. 2 n 137]]> 0 sea suficientemente grande. Por otro lado, la gráfica se aproxima al eje x tanto como se 6 y = 2 x quiera, en la medida en que – x sea muy grande, con x < 0. 5 4 La función f es estrictamente creciente, y se evidencia en la Figura 3. de f. Además, esta es una función biyectiva. 3 2 Demostración de biyección 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 1. Inyectiva + Sean x , x ∈ ℝ con x < x . Existe p ∈ ℝ , tal que x = x + p. 1 2 1 2 2 1 Luego, Interdisciplinaria Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta x x +p p x Matemática y 2 2 = 2 1 = 2 2 1 , salud y como 2 > 1, de esta igualdad se deduce 2 1 > 2 2 . x x p Las bacterias en laboratorio son un ejemplo de 2. Sobreyectiva crecimiento exponencial, Sea y ∈ ℝ . Halla x ∈ ℝ, tal que y = 2 . Admitimos que esta ecuación siempre tiene + x pues duplican su número solución en ℝ, a la que notamos . cada hora y alcanzan más de mil millones en un día, Como la función es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que es biyectiva. representado por una gráfica en forma de J. ℝ  ℝ + El crecimiento exponencial 3. Sea f la función real definida como f: 1 . ocurre cuando la tasa de x  f(x) = 2 x crecimiento per cápita es positiva y constante y se Tenemos Dom(f) = ℝ, Rec(f) = ]0, ∞[ y el grafo de f: conoce como su potencial 1 biótico. G(f) = x, | x ∈ ℝ . x Sin embargo, debido a la 2 limitación de recursos, el En la tabla se muestran algunos puntos. crecimiento exponencial no es sostenible, el x –3 –2 –1 0 1 2 3 crecimiento se desacelera 1 y la población se estabiliza, f(x) = x 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 produciendo una gráfica 2 en forma de S. Este punto y de estabilidad se llama En la Figura 1, se muestra la gráfica de esta 8 capacidad de carga y el crecimiento logístico función. Para n > 1 tan grande como se 7 se modela ajustando 1 y = 2 1 x 6 la tasa de crecimiento quiera, f(n) = es tan 2 n per cápita según el 5 tamaño poblacional y su pequeño como se quiera, mientras que 4 proximidad a la capacidad 1 n de carga. f(–n) = 2 –n = 2 es tan 3 Tomado y adaptado de grande como se quiera. 2 Khan Academy: https:// es.khanacademy.org/science/ 1 ap-biology/ecology-ap/ La función f es decreciente, lo que se evidencia population-ecology-ap/a/ en la gráfica de esta función. –3 –2 –1 0 1 2 3 x Figura 1 138]]> 0 se verifican: y = 2 x exponencial determinada kx 4 por r = 6e , 2 < 3 < 10 , y 10 < 3 < 2 . x x x –x –x –x 3 donde r es el riesgo 2 de tener un accidente automovilístico, x es la 1 concentración de alcohol –3 –2 –1 0 1 2 3 x en la sangre, y k es una constante. Figura 3 139]]> 0 con a ≠ 1 y f la función de ℝ en ℝ , definida como f(x) = a x ∈ ℝ. Tenemos + Dom(f) = ℝ, Rec(f) = ℝ . La función es biyectiva. A, B son dos conjuntos (no vacíos) cualesquiera 1. Inyectiva: x , x ∈ ℝ, x ≠ x Þ a = f(x ) ≠ f(x ) = a . x1 x2 y f es una función de A 1 2 1 + 2 + 1 2 x en B que suponemos 2. Sobreyectiva: Rec(f) = ℝ ⇔ ∀y ∈ ℝ , ∃x ∈ ℝ, tal que y = f(x) = a . Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta biyectiva, esto es, La función inversa de la función f se define a continuación: A  B ℝ  ℝ + f: f : –1 x  f(x), y  f (y) = x. –1 de modo que se Esta función está relacionada con la función directa f mediante la siguiente equivalencia: verifican las dos y = f(x) = a ⇔ x = f (y), x ∈ ℝ, y ∈ ℝ . + x –1 condiciones. Al número real f (y) se lo denomina logaritmo de base a de x y se lo nota log (y). Así, –1 Inyectividad: a x x , x ∈ A, x ≠ x ⇒ f(x ) y = a ⇔ x = log (y). a 2 2 1 1 1 ≠ f(x ). x 2 Como se ha dicho, la función exponencial dada como Exp (x) = a , x ∈ ℝ es biyectiva, por a Sobreyectividad: lo tanto, existe la función inversa notada como Log , esto es, a Rec(f) = B. + Log : ℝ  ℝ a y  log (y), Glosario a donde log (y) es la imagen de la función Log en y. Biyección. Aplicación a a biyectiva. La función Log se llama función logaritmo de base a y el número real log (x) con x > 0 se a a Biyectiva. Dicho de llama logaritmo de base a de x. una aplicación de El Dom(Log ) = ℝ , Rec(Log ) = ℝ, la función exponencial y la logarítmica están + un conjunto en otro relacionadas mediante la siguiente equivalencia: a a que cumple que su + correspondencia y = exp (x) ⇔ x = log (y), x ∈ ℝ, y ∈ ℝ . a a inversa es también una aplicación. Nota que cuando la base a = e, y > 0 se escribe ln(y), lo que se denomina logaritmo natural de y, o también, logaritmo neperiano. Tenemos: y = exp(x) ⇔ x = ln(y). Función logarítmica Cuando a = 10, y > 0, se escribe log(y) al logaritmo de base 10 de y. Ejercicio 1 1. La función Exp : ℝ  ℝ + es biyectiva. 2 x  exp (x) = 2 x 2 + Su función inversa está definida como Log : ℝ  ℝ 2 x  log (x) 2 El número real log (x) se llama logaritmo de base 2 de x con x > 0. 2 142 EC. Reconoce una función logarítmica, construye su gráfica en el plano cartesiano, describe sus principales características e identifica sus componentes principales.]]> 1 es log (x) > 0. La función Interdisciplinaria 2 2 Matemática e logarítmica de base 2 es estrictamente creciente: historia ∀x , x R ]0, ∞[, x < x ⇒ log (x ) < log (x ). 1 2 1 2 2 1 2 2 Los logaritmos neperia- nos se denominan de 2. La función Exp : ℝ  ℝ + 1 es biyectiva. Su función esta forma por el nom- bre de su inventor, John 1 x  exp (x) = 1 x 2 2 MUESTRA EDITORIAL Napier, quien intentó 2 Dr. Manuel, Wikimedia Commons + inversa está definida como Log 1 : ℝ  ℝ 1 , establecer un procedi- 2 y  log (y) miento para agilizar los 2 complicados cálculos 1 1 de modo que se tiene la siguiente equivalencia: y = exp (x) ⇔ x = log (y). que debían realizarse en 2 2 astronomía y trigono- 1 La tabla de valores de la función Log es la que se detalla a continuación. Su gráfica metría. 2 se representa en la Figura 2. Indaga sobre John Na- pier. Luego, elabora una exp (–3) = 2 = 8, log (8) = –3, 3 1 1 2 2 ficha bibliográfica. exp (–2) = 2 = 4, log (4) = –2, 2 1 1 2 2 exp (–1) = 2, log (2) = –1, 1 1 2 2 y exp (0) = 1, log (1) = 0, 1 1 2 2 3 1 1 exp (1) = , log = 1, 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 exp (2) = . log = 2. –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 2 4 2 4 –2 y = log (x) 1 2 Con esta función, para 0 < x < 1, se tiene log (x) > 0 y –3 1 2 para x > 1 se tiene log (x) < 0. p Figura 2. Gráfica de la función Log 1 x. 1 2 2 Además, la función es estrictamente decreciente: ∀x , x ∈ ℝ , x < x => log 1 (x ) > log 1 (x ). + 1 2 1 2 2 1 2 2 143]]> 0, a ≠ 1 base de la función logarítmica Log . Se verifican las siguientes Una curiosidad sobre propiedades. a las aplicaciones de + logaritmos en la vida real i. log (αβ) = log (α) + log (β), α, β ∈ ℝ . a a a es la de Benjamin Franklin, α + el famoso científico. En ii. log β = log α – log β, α, β ∈ ℝ . a a a su testamento, Franklin m m + donaba 1000 libras a los iii. log (α n) = log (α), α ∈ ℝ , m, n ∈ ℤ con n ≠ 0. habitantes de Boston, a n a con la condición de que + se prestasen al 5 % a Demostración. Sean α, β ∈ ℝ . artesanos jóvenes. Según i. De la definición de las funciones Exp y Log se tienen las siguientes equivalencias: Franklin, al cabo de 100 a a Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta años la suma se habría u = log (α) ⇔ α = exp (u), convertido en 131 000 a a libras. Comprobemos si v = log (β) ⇔ β = exp (v). a a esto es cierto. El capital final al cabo de Luego, αβ = exp (u)exp (v) = exp (u + v), a a a esos 100 años será: de donde u + v = log (αβ) y consecuentemente, x = 1000 · 1,05 . Para a 100 calcular esa enorme log (αβ) = u + v = log (α) + log (β). a a a potencia, usaremos los logaritmos: MUESTRA EDITORIAL Observaciones: x = 1000 · 1,05 ; + 100 log x = log 1000 + 100 · log 1,05; i. Sean α, β, γ ∈ ℝ . Aplicando la propiedad asociativa del producto de números log x = 3 + 100 · 0,021 2 = 5,12; reales y la propiedad i) del teorema precedente, obtenemos: x = 10 = 131 825,67 libras 5,12 log(αβγ) = log (α(βγ)) = log (α) + log (βγ) = log (α) + log (β) + log (γ). Adaptado de: a a a a a a + https://docs.google.com/ De manera general, sean α , … α ∈ ℝ . Entonces, 1 n presentation/d/1Dxguar log(α × … × α ) = log (α ) + … + log (α ). u5WCw4hHwQWNPj6IN 1 n a 1 a n mEEkztPs38hikZeiMcO4/ ii. Sea α ∈ ℝ . Puesto que log (1) = 0, se sigue que: + htmlpresent?hl=es a 1 log = log (1) – log (α) = – log (α). a α a a a 1 1 + iii. Para m = 1 y n∈ ℤ con n ≠ 0, α ∈ ℝ , se tiene: log (α n ) = log (α). a n a + Para n = 1, m∈ ℤ α ∈ ℝ , se tiene log (α ) = mlog (α). m a a Ejemplo 2 1. Se conoce que log(2) ≃ 0,301 0, log(3) ≃ 0,477 1. Calcular el valor 5 p Benjamin Franklin (1706 - 1790). aproximado de log( 144 ) con cuatro cifras luego de la coma decimal. Indaga y escribe otras Como 144 = 2 × 3 , entonces, 2 4 aplicaciones de los 4 2 5 5 logaritmos en la vida log( 144 ) = log 2 × 3 = log(2 × 3 ) 4 5 2 5 cotidiana. 4 2 4 2 = log(2) + log(3) = × 0,301 0 + × 0,477 1 = 0,431 64. 5 5 5 5 144]]> 0 y a ≠ 1. Para x > 0 se tiene: 2 z = log (8) – 4log (2) + 3log (1 + x). Simplifiquemos la escritura 3 a a a de z. Apliquemos las propiedades de los logaritmos y escribamos z con un solo logaritmo. Tenemos: 2 z = log (8) – 4log (2) + 3log (1 + x) 3 a a a 2 = log (83 ) + log (2 ) + log (1 + x) 3 –4 a a a 2 2 –4 –4 = log 83 × 2 × (1 + x) = log ((2 × 2 × (1 + x) ) 3 3 a a 1 = log (1 + x) . 3 a 4 145]]> 0 se llama logaritmo nat- 2. Sean a, b, c ∈ ℝ . En cada ítem se define u. Halla u ural de x. Se tiene + de forma simplificada. y = exp(x) = e ⇔ x = ln(y). x 1 a. log(u) = log(a + b) – 3log(a) + 2log(b + c). a. Utiliza una calculadora y genera una tabla de 2 valores que te permitan construir su gráfica. 1 MUESTRA EDITORIAL 1 2 2 b. ln(u) = ln(a + b ) – (ln(a + b) – b. Grafica la función y = ln(x). 2 3 ln(b – a)), b > a. c. Responde las preguntas. • ¿En qué intervalo la función es negativa, 1 c. log (u) = (3log (a) – (5log (b) + 2log (c))). positiva? 4 2 2 2 2 • ¿Cuál es la ecuación de la asíntota de la 1 1 3 función? d. log (u) = log (a) + log (a) + log (c) 5 3 5 4 5 2 5 • ¿En qué punto corta al eje de las x? b – log (b) + 3log (a + c) – log a . 5 5 5 5. Analiza el comportamiento de las siguientes gráficas. Determina las asíntotas de cada una y los 3. A partir de la equivalencia y = exp (x) ⇔ x = log (y), intervalos donde la función es creciente o a a encuentra los valores de la función log a partir de decreciente. a la función exponencial en cada caso. a. y a. exp3(0) = 1 3 1 y = 2 + 0,5 exp(–2x) b. exp3 = √3 2 2 y = 2 1 c. exp4(1) = 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 146]]> 10. 2 log (x) 10 1 3. Determinen el dominio de cada función φ. Es- tudien la existencia de asíntotas. A continu- x ación, calculen algunos valores de la función φ –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 y tracen la gráfica de esta función y de su o sus –1 asíntotas. –2 1 a. φ(x) = , x ∈ Dom(φ). 8 – 2 x –3 5 b. φ(x) = , x ∈ Dom(φ). (4 – 10 ) –x 2 –4 a. ¿En qué punto corta al eje x la función 5 logarítmica? c. φ(x) = , x > 0, x ≠ 4. 2 – log (x) –5 2 b. ¿Qué tipo de monotonía tiene la función? –6 c. ¿Cuál es la asíntota vertical de la función logarítmica? d. Según la gráfica, ¿existen logaritmos de números negativos? e. ¿Existe el logaritmo de cero? 147]]> 0. MUESTRA EDITORIAL 3 . 2 2 8 2 • La solución de la Para resolver esta ecuación, transformamos todos los logaritmos a la misma base 2. ecuación exponencial Tenemos: con la forma a = x f(x) g(x) a es la solución y = log (x) ⇔ x = 1 = 1 = 2 , 1 –y (o soluciones) de la 2 2 (2) y ecuación f(x) = g(x). de donde log (x) = –y, o bien y = –log (x). Así, log (x) = –log (x). 1 Esto se debe a que 2 2 2 2 dos potencias con A continuación, tenemos: la misma base son z = log (x) ⇔ x = 8 = (2 ) = 2 . 3 z 3z z iguales, si y solo si 8 1 sus exponentes son log (x) = 3z ⇔ z = log (x). 3 2 2 iguales (inyectividad 1 de la función dada Consecuentemente, log (x) = log (x). De forma similar, se obtiene: log (x) = 2log (x). 3 8 2 2 2 u como a ∈ ℝ). Reemplazando estos resultados en la ecuación propuesta, se obtiene: 1 log (x) – log (x) + log (x) + 2log (x) = 35 , 2 2 3 3 2 2 y luego de simplificar, resulta: 7 35 log (x) = ⇔ log (x) = 5 ⇔ x = 2 = 32. 5 3 2 3 2 La solución de la ecuación propuesta es x = 32 ∈ ]0, ∞[. Verifica. 3. Halla, si existe x ∈ ℝ, la solución de la ecuación: log (9 + 7) = 2 + log (3 + 1). x–1 x–1 2 2 Tenemos 9 = (3 ) = 3 2(x–1) , log (4) = 2. Luego, 2 x–1 x–1 2 148 DBA 3 (Ev. 1 G. 10) Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas EC. Comprende el concepto de logaritmo, y deduce y aplica sus propiedades en la solución de ecuaciones logarítmicas y problemas prácticos.]]> 0 ⇔ x > –2. De manera similar, log (2x – 3) está bien definido, si y solo si, 2 3 y 2x – 3 > 0 ⇔ x > . De estos dos resultados, 2 3 y = log (x+2) 2 log (x + 2) – log (2x – 3) está bien definido, si y solo si 2 2 2 y = log (2x–3) 2 3 3 1 x > –2 y x > , de donde x > . Observa la Figura 4.9. 2 2 –2 –1 0 1 2 3 3,5 4 5 5,5 6 7 8 x –1 Si la ecuación tiene solución x, esta debe satisfacer –2 3 –3 la condición x > . Resolvamos la ecuación. Tenemos 2 asíntota asíntota x + 2 x + 2 log (x + 2) – log (2x – 3) = 2 ⇔ log = 2 ⇔ = 2 2 x = –2 x = 3 2 2 2 2 2x – 3 2x – 3 p Figura 4.9. ⇔ x + 2 = 8x – 12 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. 3 Así, la solución es x = 2. Nota que esta satisface la condición x > . 2 149]]> –10, y logarítmicas, ten en x + 10 > 0, y ⇔ 5 cuenta lo siguiente: 2x – 5 > 0 x > . 2 • Aplica las propiedades 1 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta de los logaritmos Por lo tanto, ln(x + 10) – ln(2x – 5) está bien definido, si y solo hasta obtener un solo 2 5 5 logaritmo en ambos si, x > . Así, I = , ∞ . Para x ∈ 5 , ∞ , tenemos: miembros de la 2 2 2 ecuación. 1 x + 10 • Resuelve la ecuación ln(x + 10) – ln(2x – 5) = ln 2x – 5 . 2 que queda y verifica la validez de las La ecuación propuesta se escribe en forma equivalente, como: soluciones obtenidas. x + 10 ln = – ln(α) = ln 1 , 2x – 5 α y por la inyectividad de la función Ln, se obtiene: 1 Interdisciplinaria x + 10 = ⇔ α(x + 10) = 2x – 5 . Matemática y 2x – 5 α estudios sociales Elevando al cuadrado ambos miembros en la última igualdad, tenemos: Las ecuaciones logarítmicas son α (x + 10) = 2x – 5, x + 20x + 100 = 1 (2x – 5), 2 2 2 ampliamente utilizadas α 2 para resolver problemas x + 20x – 2 x + 100 + 5 = 0. 2 2 2 de crecimiento α α poblacional, que son Determinemos las raíces de esta ecuación en términos de α. Para el efecto, aplicamos Dr. Manuel, Wikimedia Commons Tenemos: 2 2 2 5 modelados mediante ecuaciones exponenciales. la conocida fórmula de obtención de las raíces de una ecuación de segundo grado. – 20 – ± 20 – – 4 100 + 2 2 2 α = x 2 α α 2 80 4 20 – 20 + ± 400 – + – 400 – 2 4 2 2 = α α α α Indaga y responde con 2 2 2 4 tus palabras: ¿qué es un – 20 + ± – 100 – 20 + ± 4 – 100α 2 α 2 α 2 α 4 α 4 α 2 logaritmo? Escribe otras = = . aplicaciones. 2 2 150 EC. Identifica fenómenos en la física, la ingeniería, la economía u otras ciencias que pueden modelarse mediante funciones y ecuaciones exponenciales o logarítmicas.]]> , α ≤ ⇒ α ≤ . Para α > la ecuación no Interdisciplinaria 2 5 10 10 10 Matemática y 2 música tiene solución. Consideramos el caso α = , 10 2 ¿Qué tiene que ver – 200 + 2 2 – 20 + 200 la matemática con la x = 10 = 4 = 15 ∈ I. música? 2 2 Pues en realidad, mucho. 2 El uso de logaritmos en Conclusión: la ecuación tiene solución si y solo si α = y x = 15. la música permite hallar 10 las vibraciones de las Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 6. Consideremos la ecuación log (x) = log ( x ), x > 0. tonalidades musicales, 2 2 pero para hallar estas Dr. Manuel, Wikimedia Commons Para estudiar la existencia de soluciones, y, en caso de existir, para hallar la o las vibraciones, siempre tiene soluciones, definimos dos funciones asociadas a esta ecuación: que estar el logaritmo en base dos. u(x) = log (x) , x > 0, 2 v(x) = log (x) , x > 0. 2 Primeramente, el dominio de la función Log es el conjunto ]0, ∞[, 2 1 con lo que log ( x ) = log (x) está bien definido si x > 0. 2 2 2 Luego, u(x) está bien definido si y solo si log (x) ≥ 0. 2 Como log (x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, se sigue que Dom(u) = [1, ∞[, y siendo 2 Dom(v) = ]0, ∞[, resulta que la ecuación está propuesta en el conjunto Dom(u) ⊂ Dom(v) = ]0, ∞[ ∩ ]1, ∞[ = ]1, ∞[. Nota que x = 1 es una solución, pues: u(1) = log (1) = 0 = log ( 1 ) = v(1). 2 2 Pasemos a resolver esta ecuación. Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: 1 1 log (x) = log (x) ⇔ log (x) – log (x) = 0, x ≥ 1. 2 2 2 4 2 2 4 2 1 Sea y = log (x). La última ecuación se expresa como y – y = 0. 2 4 2 Tenemos: 1 y = 0, o 1 y – y = 0 ⇔ y 1 – y = 0 ⇔ 1 2 4 4 1 – y = 0 . 4 Como y = log (x), y = 0 = log (x) ⇔ x = 1 que ya fue obtenida. 2 2 A continuación, y = 4 = log (x) ⇔ x = 2 = 16. 4 2 Se verifica inmediatamente u(16) = v(16) = 2. Se tienen dos soluciones x = 1 y x = 16. 151]]> 1. Luego, realiza los desplazamientos horizontales y verticales. x f(x) = a (x + b) , f(x) = a + b. x Sea la función f(x) = 5 , analiza su gráfica. x 1. En la barra de Entrada, ingresa la función f(x) = 5 . x 2. La gráfica de la función f(x) = 5 es creciente, x porque a > 1. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 3. La función tiene asíntota horizontal en y = 0. Traza las gráficas de f(x) = 5 + 2 y de f(x) = 5 (x + 2) . x Analiza qué sucede en cada caso. 4. La función f(x) = 5 + 2 se desplazó dos 5. La función f(x) = 5 (x + 2) se desplazó dos unidades a x unidades hacia arriba, al igual que su asíntota, la izquierda, y la asíntota se mantiene en y = 0. y = 2. La función sigue siendo creciente. La función sigue siendo creciente. Practica las gráficas de funciones exponenciales con los ejercicios de la página 112 de este texto. 155]]> 0 es: 3 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 1 x x a. ℝ \ {–3} c. ℝ \ {3} b. f(x) = d. f(x) = (3) x 2 b. ℝ \ {0} d. ℝ \ {–3, 3} 9. La solución de la ecuación 2 log (x – 6) + log (x + 6) = 2 es: 13. La solución para 3 x – 5 = 81 es: 8 8 a. x = ±3 c. x = 3 a. 10 b. –10 c. ±10 d. 10 2 b. x = –3 d. x = 8 Expresa lo que sientes sobre esta frase: “Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo”. Benjamin Franklin. Autoevaluación Siempre A veces Nunca Obtengo la gráfica de funciones exponenciales. Analizo las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas. Aplico propiedades de los logaritmos para resolver problemas. Determino el dominio de funciones exponenciales y logarítmicas. Coevaluación Siempre A veces Nunca Participamos activamente en los trabajos grupales. Utilizamos la tecnología para graficar funciones exponenciales y logarítmicas. Metacognición a. ¿De qué manera el uso de las TIC te ayudó con los temas de esta unidad? b. ¿En qué se aplica el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas? 157]]> 0, ∀n ∈ ℕ, a = αa + a donde a , a ∈ ℝ dados, α, β ∈ ℝ n+1 n 0 n 1 + constantes y n ∈ ℤ . n–1 161]]> 0, ∀n ∈ ℕ que muestra que formación constante. n+1 n n+1 n (u ) es una sucesión estrictamente creciente. n Ejercicio 2 Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son 15; 12,5; 10; 7,5. Determinemos el término general de la progresión aritmética. Ponemos u = 15, u = 12,5. 0 1 Luego, u = u + d ⇔ 12,5 = 15 + d d = –2,5. 1 0 u = u + d = 12,5 – 2,5 = 10, 2 1 u = u + d = 10 – 2,5 = 7,5, 2 3 ∙ u = u + d = u + (n + 1)d = 15 – 2,5(n + 1), n ∈ ℕ. n+1 n 0 Como u – u = –2,5 < 0, ∀n ∈ ℕ, se sigue que (u ) es una sucesión estrictamente n+1 n n decreciente. El recorrido de esta sucesión es el conjunto {15 – 2,5n | n ∈ ℕ}. 166 DBA 3 (Ev. 2) Determina y utiliza la expresión general de una sucesión para calcular cualquier valor de la misma y para compararla con otras sucesiones. EC. Reconoce progresiones aritméticas y sus propiedades. EC. Deduce fórmulas para un término cualquiera, así como la suma de los términos de una progresión aritmética.]]> 0, ∀n ∈ ℕ, se sigue que (u ) es una sucesión n n+1 n n+1 n n estrictamente creciente. El recorrido de esta sucesión es el conjunto {3 × 2 | n ∈ ℕ}. 170 DBA 3 (Ev. 2) Determina y utiliza la expresión general de una sucesión para calcular cualquier valor de la misma y para compararla con otras sucesiones. EC. Reconoce progresiones geométricas y sus propiedades. EC. Deduce fórmulas para un término cualquiera, así como la suma de los términos de una progresión geométrica.]]> 1, la 3 2 n+1 n n n progresión es creciente, y Luego, dS – S = ad – a = a(d – 1), o lo que es lo mismo, decreciente cuando 0 < n+1 n+1 n n r < 1. n+1 (d – 1)S = a(d – 1). n • Se calcula dividiendo Si d = 1, entonces (u ) es la sucesión constante a, en cuyo caso un término por el que n Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta le precede. S = (n + 1)a. Si d ≠ 1, entonces n • La razón puede ser n d – 1 1 – d un número positivo o n+1 n+1 S = a ∑ d = a = a . negativo. k n k=0 d – 1 1 – d Notación y término Particularmente, si a = 1, obtenemos: n-ésimo. n d – 1 n+1 2 S = 1 + d + d + ... + d = ∑ d = , si d ≠ 1. a = primer término; r = j n n d – 1 razón o diferencia; n = j=0 número de términos Ejercicios 3 Término n-ésimo 1. De una progresión geométrica (g ) se conocen los términos n – 1 n Un = a • r , el último 9 243 término: l = ar n–1 g = , y g = . 2 8 5 64 Suma de los primeros Obtén el término general de esta progresión, así como la suma de los n primeros términos. términos. ⎛ r n –1 ⎞ lr – a S n = ⋅ a ⎜ ⎟ ;,S = r Se ha visto que el término general de una progresión geométrica (g ) está definido ⎝ –1 ⎠ r –1 n como g = ad , n ∈ ℕ. Con la información dada, obtenemos las constantes a y d. Aplicación de progre- n siones en finanzas: valor n Tenemos el siguiente par de ecuaciones: futuro. 9 243 g = = ad , g = = ad . 5 2 2 8 5 64 9 De la primera ecuación se obtiene a = , y se reemplaza en 8d 2 9 la segunda ecuación, 243 = 9 d = d , Donde: 5 3 64 8d 2 8 27 3 3 de donde d = , y en consecuencia, d = . Calculamos a: 8 2 9 9 1 a = = = . Define con tus palabras 8d 2 3 2 2 8 qué es una progresión 2 geométrica. Así, el término general de la progresión geométrica está dado como g = 1 3 n , ... n ∈ ℕ. 2 n 2 Nota que esta sucesión es estrictamente creciente. 171]]>: lógicamente ≅ MUESTRA EDITORIAL p V p F p p equivalente a De complemento ( p) p F V : equivale V F ( p q) p q De Morgan ( p q) p q p ( p q) p De absorción p ( p q) p p q p q Condicional simple p q q q Bicondicional p q ( p q) ( q p) Ejemplos 7 a. Usando el álgebra de proposiciones, simplifica la proposición. q ∼ )∨( ∼ ( p ∼ ∨) ∼q q ∼ )∨( ∼ ( p ∼ ∨) ∼q ≅ ∼∼ ∨ (∼ ∨ ∼q ) As ociativa p q ) ≅ ∼∼ ∨ (∼ ∨ q ∼q p Solución ∼ )∨( ∼ ∨ ∼q As ociativa ≅ ∼∼ [ p ∨ ∼ ] q De idempotencia ∼ ( p ) q ≅ ∼∼ [ p ∨ ∼ ] q De idempotencia ∼∼q ) De Morgan ≅ ∼∼ ∨ (∼ ∨ ∼q ) As ociativa ≅ ∼∼ ( p ) ∧ ( q p ≅ ∼∼ ( p ) ∧ ( ≅∧ ∼∼q ) De Morgan pq De complemento ≅ ∼∼ [ p ∨ ∼ ] q De idempotencia ≅∧ pq De complemento ∼∼ ( p ) ∧ ( ∼∼q ) De Morgan ≅∧ pq De complemento 186]]> a y c > b. Responde: ¿qué nombre 3 recibe en un triángulo rectángulo el lado que se Para encontrar la hipotenusa Para encontrar los catetos opone al ángulo recto? La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada Un cateto es igual a la raíz cuadrada del de la suma de los catetos elevados al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado. cuadrado del otro cateto. A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras, despejamos para obtener las fórmulas. Para resolver el problema planteado al inicio, es necesario identificar lo que deseamos hallar, en este caso, un cateto. Por lo tanto, la fórmula que se aplica es: a= 6 875 a = 82,91 m Solución El ancho de la cancha de fútbol es 82,91 m. 192 DBA 5 (Ev. 3) Justifica procedimientos de medición a partir del Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y relaciones intra e interfigurales.]]> 2). 1 n a. La varianza de la población X se denota s (que se lee sigma al cuadrado) y se 2 n 2 ∑ x − i define como: 2 = i= 1 , donde μ es la media de la población. n n 2 ∑ ( i x ) x − 2 = i= 1 , 1 n− 230 EC. (G. 10). Comprende y aplica las medidas de dispersión en el análisis de datos de diversa índole.]]> 2). la altura de las escaleras 1 n necesarias para trepar las a. La desviación estándar de la población X se denota s (que se lee sigma) y se murallas. define como: n ∑ x − 2 i n 2 ∑ = i= 1 , donde m es la media de la población. Simbología x − n i matemática i= 1 , = b. La desviación estándar de la muestra X se denota s, y se define como Aprende la siguiente n n ∑( x − x) 2 simbología: i n = i= 1 , ∑( x − x) 2 ∑ : sumatoria. n− 1 i x : media aritmética. = i= 1 , n− 1 s : letra griega sigma designada para la donde x denota la media aritmética de la muestra. varianza. 231]]>