[21, 6[ 4. Sea x [ R, tal que 2 # x # 100. Demuestra que: c. ]25, 2] > [22, 5[ a. 41 # 20x 1 1 # 2 001. 10. Sea I 5 ]2`, 2], J 5 [21, 1], K 5 [0, 2]. En cada ítem, determina el conjunto que se indica y represéntalo b. 2540 # 5x 2 550 # 250. en la recta numérica. c. 22 989 # 2 30x 1 11 # –49. a. A 5 Iø J ø K. b. C 5 (J \ I) ø (K \ J). 26]]> –2 y 3 3 7 f(25) 5 5 21, f(21,5) 5 5 6, asíntota V 6 25 1 2 21,5 1 2 5 4 3 3 3 3 f(24) 5 5 2 , f(21) 5 5 3, 2 1 24 1 2 2 –1 1 2 asíntota H 23 22 21 1 2 3 4 5 6 7 x 24 26 25 3 3 21 22 f(23) 5 23 1 2 5 23, f(0) 5 0 1 2 5 1,5, 23 24 3 25 26 27 3 f(22,5) 5 22,5 1 2 5 26. f(1) 5 1 1 2 5 1. Figura 2.3. En la región en la que x . 22, tenemos que la función f es estrictamente decreciente al igual que en la región en que x , 22. Así, f es decreciente en el conjunto  \ {22}. DBA 7 (Ev. 4) Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva. 87]]> Dom(g). como f 5 5 0, se llama q función racional nula y se Ejercicio resuelto representa simplemente con 0, siempre que Consideremos las funciones racionales f, g, definidas como sigue: no haya peligro de 2 confusión. 5 f(x) 5 , ;x   \ {1}, x21 2 Recordemos que si g(x) 5 , ;x   \ {21, 1}. x 21 a a, b [ R, [ R ⇔ b ? 0. b a Esto es, De la definición de las funciones racionales f, g, se tiene: b está bien definido si y Dom(f) 5 R \ {1}, Dom(g) 5 R \ {–1, 1}. Entonces, f 1 g es la función racional definida solo si el denominador como: b ? 0. 2 x (f 1 g)(x) 5 f(x) 1 g(x) 5 1 x21 x 21 5 2 + x 5 2(x 21) 1 x(x21) x21 (x21) (x11) (x21) (x11) 2x 22 1 x 2x 3x 2x22 (x21) (3x12) 5 (x21) (x11) 5 (x21) (x11) 5 (x21) (x11) 5 3x 12 5 3 2 1 (x11) x11 Esta función tiene dos asíntotas: una horizontal definida como A 5 {(x, 3) | x [ R} y una h vertical dada como Av 5 {(21, y) | y [ R}. Es preciso recalcar que en el cálculo de (f 1 g)(x) hemos utilizado las propiedades algebraicas de los números reales, y, muy particularmente, las enunciadas en el teorema precedente. 96 DBA 3 (Ev. 1) Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas.]]> Dom(g). siempre que y ? 0, u ? 0. q(x) s(x) x p r ps 2 qr y xu En forma abreviada, escribimos: f 2 g 5 2 5 qs , q ? 0, s ? 0. v. z 5 yz , q s u Por la propiedad conmutativa, se tiene f 2 g 5 –g 1 f. con y ? 0, z ? 0, u ? 0. 2.3 Multiplicación de funciones racionales Interdisciplinariedad Matemáticas y Sean p, q, r, s polinomios reales de grado # 2, f y g dos funciones racionales definidas medicina como: MUESTRA EDITORIAL p(x) r(x) Las funciones racionales f (x) 5 , ;x [ Dom(f), g(x) 5 , ;x [ Dom(g). modelan situaciones q(x) s(x) donde una variable Definición. Se define la función fg como sigue: depende inversamente de otra o muestra p(x) r(x) p(x)r(x) un comportamiento (fg)(x) 5 f(x)g(x) 5 q(x) 3 s(x) 5 q(x) s(x) , ;x [ Dom(f) > Dom(g). asintótico, acercándose a p r pr un valor sin alcanzarlo. En forma abreviada, escribimos: fg 5 3 5 qs , q ? 0, s ? 0. s q Las imágenes de funciones racionales son números reales, por lo tanto, las operaciones con funciones racionales heredan las propiedades algebraicas de los números reales. Por otro lado, para calcular el producto de dos funciones, la operación se realiza en cada uno de los puntos en los que están bien definidas. Es preciso observar si es o no posible simplificar la escritura de: La Ley de Boyle describe p(x)r(x) , ;x [ Dom(f) > Dom(g). la relación inversa entre q(x) s(x) la presión y el volumen Dadas las funciones racionales f, g, la función fg está definida únicamente en el conjunto de un gas a temperatura k 3 2 Dom(f) > Dom(g). Dada la función racional f, se denota f·f 5 f , f 5 f f, y así sucesivamente. constante: P(V)5 , donde 2 v k es una constante. En el Sean p, q polinomios reales de grado # 2, buceo, esta Ley explica cómo cambian el volumen A 5 {x [ R | q(x) 5 0}, y la presión del aire en los pulmones o en el tanque B 5 {x [ R | p(x) 5 0}, de oxígeno al sumergirse o ascender, y así, prevenir p(x) riesgos como el síndrome f la función racional definida como f(x) 5 , ;x [ R \ A 5 Dom(f). q(x) de descompresión. 97]]> Dom(g), y prueba que el resultado es el indicado. 1 f(x) 5 , ;x [ R 2 {0}, x a. 5 Entonces 1 g(x) 52 , ;x [ R 2 {21}. x11 x (f 1 g)(x) 5 x(x11) , ;x [ R 2 {21, 0}. x 5 f(x) 5 , ;x [ R, Entonces 2 x b. g(x) 52 , ;x [ R 2 {3}. x23 2x(x+3) (f 1g)(x) = , ;x [ R 2 {3}. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 2(x23) x 5 f(x) 5 , ;x [ R2 {22} Entonces 21x x c. g(x) 5 , ;x [ R 2 {25}. x15 2x 17x (f 1g)(x) = , ;x [ R 2{22, 25}. (x12)(x15) 2. Analiza la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: Cualquier función racional multiplicada por cero, siempre da como resultado la misma función. 3. Sean p, q, r, s polinomios reales de grado # 2, y f, g las funciones racionales definidas en Dom(f) > Dom(g) como: p(x) f(x) 5 , ;x [ Dom(f), q(x) r(x) g(x) 5 , ;x [ Dom(g). s(x) Demuestra la propiedad conmutativa: f 1 g 5 g 1 f, esto es, (f 1 g)(x) 5 (g 1 f)(x) 5 g(x) 1 f(x), ;x [ Dom(f) > Dom(g). 100]]> Dom(g) > Dom(h) como: p(x) r(x) u(x) f(x) 5 , g(x) 5 , h(x) 5 , q(x) s(x) v(x) donde x [ Dom(f) > Dom(g) > Dom(h). a. Demuestra la propiedad asociativa: b. Luego, calcula: (f 1 g) 1 h 5 f 1 (g + h). [(f 1 g) 1 h](x) 5 (f 1 g)(x) 1 h(x), Para el efecto, calcula: ;x [ Dom(f) > Dom(g) > Dom(h). Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta (f 1 g)(x) 5 g(x) 1 f(x), [f 1 (g 1 h)](x) 5 f(x) 1 (g 1 h)(x), ;x [ Dom(f) > Dom(g). ;x [ Dom(f) > Dom(g) > Dom(h). (g 1 h)(x) 5 g(x) 1 h(x), c. Finalmente, compara los resultados. ;x [ Dom(g) > Dom(h). 5. Sean p, q polinomios reales de grado # 2, y f la función racional definida como p(x) f(x) 5 , ;x [ Dom(f). q(x) Demuestra que f 1 0 5 f, esto es, (f 1 0)(x) 5 f(x), ;x [ Dom(f). 6. En cada ítem se definen dos funciones racionales f, g. Define la función fg en cada punto x [ Dom(f) > Dom(g), y prueba que el resultado es el indicado. x 11 5 f(x) 5 , ;x [ R2 {0} Entonces x 1 a. g(x) 5 , ;x [ R 2 {21}. x11 1 (f g)(x) = , ;x [ R 2 {21, 0}. x 5 5 f(x) 5 , ;x [ R2 {0} Entonces 2x x b. g(x) 5 , ;x [ R 2 {3}. x23 5x (f g)(x) = , ;x [ R 2 {0, 3}. 2(x23) 101]]> Dom(g) como p(x) r(x) f(x) 5 , g(x) 5 , q(x) s(x) donde x [ Dom(f) > Dom(g). Demuestra la propiedad asociativa fg 5 gf, esto es: (fg)(x) 5 (gf)(x) 5 g(x) 3 f(x), ;x [ Dom(f) > Dom(g). Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 1 1 8. Sean f(x) 5 x24 , x ? 4; g(x) 5 x 216 , x ? 64 desarrolla las operaciones solicitadas en cada inciso. e. 4 ? g(x) a. f(x) 1 g(x). MUESTRA EDITORIAL b. f(x) 2 g(x) f. 0 ? g(x) c. f(x) ? g(x) g. 0 ? f(x) d. –2 ? f(x) x22 f(x) 5 , x ? 21 y x ? 2 9. Sean 5 x 2x22 2 g(x) 5 , x ? 21 x11 Resuelve las operaciones solicitadas. a. f(x) 1 g(x) d. 10 ? f(x) b. g(x) 2 f(x) e. 0 ? f(x) c. f(x) ? g(x) 102]]> Dom(g), y encuentren las operaciones indicadas. Si f(x) 5 7x 2 4 y g(x) 5 x 1 9, encuentren: a. (f 1 g)(x). b. (fg)(x). c. (f/g)(x). Si f(x) 5 x12 y g(x) 5 x 1 4, encuentren: 2 x15 a. (f 2 g)(x). b. (f 1 g)(x). c. (gf)(x). d. g (x). 2 103]]> 0, su radio. Calculemos || || , || || , || || . y || || 5 17, || || 5 4 1 (2 1 3 ) 5 11 1 4 3 , w  u  2 2 2 v || || 5 (1 2 2 ) 1 (2 2 2 ) 5 9 2 6 2 . 2 2 2 Sean: 5 2 5 (1, 4) 2 (2, 2 1 3 ) 5 (21, 2 2 3 ). x 0 5 (a, b) 5 2 5 (1, 4) 2 (1 2 2 , 2 2 2 ) 5 ( 2 , 2 1 2 ). 0 x Figura 3.6 1 1 2 2 b 5 (|| || 2 || || ) 5 (17 2 11 2 4 3 ) 5 3 2 2 3 . 1 2 2 1 1 b 5 (|| || 2 || || ) 5 (17 2 9 1 6 2 ) 5 4 1 3 2 . 2 2 2 2 107]]> 0, la ecuación (x, y) [ R , tal que y 5 24cx, tiene sentido en R si y solo si 2 2 x ≤ 0. En la Figura 4.6. se muestra el conjunto ( , 2c). 0 4.2 Problemas relativos a la parábola –c c x 2 Problema 1. Consideremos la parábola 5 (x, y) MUESTRA EDITORIAL 2 ( , c) 5 {(x, y) [ R | y 5 4cx}, donde c > 0. Se tiene la siguiente equivalencia: (x, y) [ 2 2 Figura 4.6 ( , c) y 5 4cx. Sea (x , y ) [ ( , c), es decir, y 5 4cx . Determinemos una recta L que pasa por 2 0 0 0 0 (x , y ) y es tangente a ( , c) en dicho punto. 0 0 Si x 5 y 5 0, esto es, (x , y ) es el vértice de la parábola, el eje Y es la recta tangente a y 0 0 0 0 ( , c) en (0, 0) cuya ecuación vectorial está definida como (t) 5 t(0, 1), ;t [ R. En la Figura 4.7. se muestran la parábola ( , c) y la recta tangente en (0, 0). j  5 (0, 1) Supongamos que x ≠ 0, y ≠ 0 y L la recta tangente a la parábola ( , c) en el punto (x , 0 0 0 5 (0, 0) x y ) [ ( , c), la ecuación cartesiana es: 0 y 5 4cx 2 (x, y) [ R tal que y 2 y 5 m(x 2 x ), 2 0 0 Figura 4.7 donde m ≠ 0 es la pendiente. De la ecuación cartesiana de L se obtiene y 5 y 1 m(x 2 x ). Reemplazando en la 0 0 ecuación cartesiana de la parábola, resulta: 2 2 [y 1 m(x 2 x )] 5 4cx (mx 1 y 2 mx ) 2 4cx 5 0 0 0 0 0 2 2 m x 1 2m(y 2 mx )x 1 (y 2 mx ) 2 4cx 5 0. 2 0 0 0 0 114 DBA 5 (Ev. 3) Utiliza las expresiones simbólicas de las cónicas y propone los rangos de variación para obtener una gráfica requerida.]]> 0, y (x , y ) [ R , tal que (x , y ) Ó ( , c) y si x 2 2 0 0 0 0 0 > 0, y > 4cx . En la Figura 4.10. se muestran la parábola ( , c), el punto (x , y ) y L, L , L y 2 2 0 0 0 0 1 que son tres rectas de un haz de rectas que pasan por (x , y ), una de ellas tangente a ( 0 0 2 , c) y (x , y ) [ R . (x , y ) 1 1 0 0 (x , y ) 1 1 x L 2 Notemos que (x , y ) [ R es tal que x > 0 y y > 4cx . Un punto como este se denomina 0 x 2 2 1 1 1 1 1 interior a la parábola. y 5 4cx 2 L 1 Determinemos si existe una recta L que pasa por el punto (x , y ) y es tangente a la L 0 0 parábola ( , c). Para el efecto, supongamos que la ecuación cartesiana de la recta está Figura 4.10 2 definida como (x, y) [ R , así, y 2 y 5 m(x 2 x ), donde m [ R es la pendiente. Entonces, 0 0 y 5 m(x 2 x ) 1 y , y reemplazando en la ecuación de la parábola y 5 4cx, se tiene (y 1 2 0 0 0 m(x 2 x )) 2 4cx 5 0. 2 0 Procediendo en forma similar al desarrollo realizado en el problema 1, se obtiene la ecuación siguiente que permite hallar m. x m 2 y m 1 c 5 0, 2 0 0 115]]> 0, 2 Competencia pues, por hipótesis, el punto (x , y ) [ ( , c) y si x > 0, y > 4cx . Las raíces de la ecuación 0 0 2 matemática 0 0 0 0 0 de segundo grado son: Otra forma de presentar la ecuación canónica de la y₀ 2 y₀ 24cx₀ y₀ 1 y₀ 24cx₀ parábola, es: m₁ 5 2x₀ , m₂ 5 2x₀ . Ecuación canónica de la parábola Debemos probar que las rectas L , L de las siguientes ecuaciones cartesianas que se 1 2 definen a continuación: La ecuación de la parábola de vértice V 5 (0, 0) y eje L : (x, y) [ R tal que y 2 y 5 m (x 2 x ), 2 focal y 5 0, (eje x) es: 1 0 1 0 y 5 4cx donde: 2 L : (x, y) [ R tal que y 2 y 5 m (x 2 x ), 2 c . 0 ⇒ Las ramas de la 2 0 2 0 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta parábola apuntan hacia la son tangentes a la parábola ( , c). Para el efecto, debemos mostrar que el sistema de derecha. c , 0 ⇒ Las ecuaciones ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda. (x, y) [ R tal que 5 y 2 y₀ 5 m₁(x2x₀) 2 La expresión canónica de y 2 4cx 50, la parábola vertical con V 2 (0, 0) y eje focal x 5 0 (eje tiene una única solución (x, y) [ R . y) es: De la segunda ecuación, se obtiene x 5 y . Reemplazando en la primera, se tiene: x 5 4cy. MUESTRA EDITORIAL 2 4c Donde: y 2 y 5 m 1 y 2 x₀2 m y 2 4cy 1 4cy 2 4cx m 5 0. 2 c . 0 ⇒ Las ramas de la 0 1 4c 1 0 0 1 parábola apuntan hacia la Esta última ecuación de segundo grado con incógnita tiene solución en R si y solo si su arriba. c , 0 ⇒ Las ramas discriminante es no negativo, es decir, de la parábola apuntan hacia la abajo. d 5 16c 2 4m (4cy 2 4cx m ) 5 16c(x m 2 m y 1 c). 2 2 Coordenadas del foco: F(0, 1 0 0 1 0 1 1 0 c) y la ecuación de la Pero m es solución de la segunda ecuación x m 2 my 1 c 5 0, entonces d 5 0. 2 directriz y 5 2c. 1 0 0 Consecuentemente, La ecuación de la parábola c con vértice fuera del y 5 4c 5 2 m₁ . origen es: 2m₁ Horizontal: Luego, x 5 y 5 3 2 c c . El punto de tangencia es 1 (y 2 k) 5 ±4p(x 2 h) 4c 4c m₁ 4 5 m₁² 2 Vertical: 1 c , 2 c 2 5 c 1 , 2 . En forma similar se procede con m . 2 (x 2 h) 5 ±4p(y 2 k) m₁² m₁ m₁ m₁ 1 2 2 116]]> c y b 5 a 2 c , 5 (2c, 0), 5 (c, 0). La elipse de 2 1 2 centro y de eje transverso al eje x se denota con E( , a, b) y se define como el conjunto Aprende este sinónimo: 2 A la ecuación cartesiana E( , a, b) 5 { [ R | || 2 || 1 || 2 || 5 2a}. 2 1 de la elipse Los puntos fijos 5 (2c, 0) y 5 (c, 0) se llaman focos de la elipse, y la recta que pasa 1 2 x 5 (x, y) [ R tal que por y se llama eje transverso. 2 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta x 2 1 y 2 5 1. 1 2 2 a b De la definición del conjunto E( , a, b) es claro que E( , a, b) [ R y E( , a, b) ≠ Ø, como se se la conoce como mostrará más adelante. ecuación canónica. Sea 5 (x, y) [ R . Entonces, 2 Aprende la siguiente simbología matemática: 2 5 (x, y) 2 (2c, 0) 5 (x 1 c, y), 2 5 (x, y) 2 (c, 0) 5 (x 2 c, y). 1 2 A la elipse de centro y Luego, de eje transverso al eje x se la denota con E( , a, b). || 2 || 5 (x 1 c) 1 y , || 2 || 5 (x 2 c) 1 y . 2 2 2 2 1 2 ≠ (x, y) Ó E( , a, b) ⇔ Tenemos la siguiente equivalencia: x 2 1 y 2 5 1. a b 5 (x, y) [ E( , a, b) || 2 || 1 || 2 || 5 2a 2 1 2 2 2 2 (x 1 c) 1 y 1 (x 2 c) 1 y 5 2a. Para obtener la ecuación cartesiana de la elipse, consideramos la ecuación: 5 (x, y) [ R tal que (x 1 c) 1 y 1 (x 2 c) 1 y 5 2a, 2 2 2 2 2 de donde (x 1 c) 1 y 5 2a – (x 2 c) 1 y . Elevando al cuadrado ambos miembros, 2 2 2 2 obtenemos: 2 2 2 2 2 2 2 (x 1 c) 1 y 5 4a 2 4a (x 2 c) 1 y 1 (x 2 c) 1 y , x 1 2cx 1 c 1 y 5 4a 2 4a (x 2 c) 1 y 1 x 2 2cx 1 c 1 y , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y luego de simplificar x 1 y 1 c , se deducen las siguientes igualdades: 2 2 2 2cx 5 4a 2 4a (x 2 c) 1 y 2 2cx, 2 4cx 2 4a 5 2 4a (x 2 c) 1 y , 2 2 2 cx a 2 5 2 (x 2 c) 1 y . 2 2 a Nuevamente, elevamos al cuadrado en ambos miembros de esta última igualdad: a ) ( a 2 cx 5 (x 2 c) 1 y , 2 2 2 2 2 2 a 2 2cx 1 c x 5 x 2 2cx 1 c 1 y , a 120]]> c, entonces, a 2 c > 0. Ponemos b 5 a 2 c y reemplazamos en la y 2 2 2 2 2 última ecuación: b x b x y 2 2 2 2 x 2 y 5 2b , de donde 1 5 1, a a b 2a F  5 (2c, 0) F  5 (c, 0) a x 2 1 a ( ) ( ) x y o también, 1 b 5 1. 2b Figura 2.33. x y Así, 5 (x, y) [ E( , a, b) a ( ) ( ) 5 1. X  5 (x, y) es un punto de 1 b Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta la elipse. A esta última ecuación se la conoce como ecuación cartesiana de la elipse de centro y F  y F  son los focos de la 1 2 eje transverso al eje X. elipse. 0  es el centro de la elipse. El conjunto E( , a, b) puede ser expresado así: La suma de las distancias desde un punto X  a los y a ( ) b focos es siempre E( , a, b) 5 5 5 (x, y) [ R | x 1 ( ) 5 16. puntos fijos llamados 2 constante e igual a 2a con Dados a, b [ R , las coordenadas de los focos y se obtienen de la ecuación a > 0. 1 2 1 c 5 a 2 b . Nota que a > b. La ecuación cartesiana de 2 2 2 la elipse con centro en el origen 0  es: Definición. La excentricidad de la elipse se designa con e y se define como: x a ( ) ( ) 5 1, y 1 c a 2 b b b e 5 5 5 12 ( ) . donde a > 0 y b > 0. a a a c Como a . c, se sigue que e 5 , 1; es decir que la elipse es una sección cónica que a tiene excentricidad menor que 1. En la Figura 2.30. se muestran el conjunto E( , a, b), los focos y , así y un punto 5 (x, y) de la elipse. 1 2 Con la ecuación de la elipse podemos determinar las intersecciones de la elipse con los ejes coordenados, del siguiente modo: y si x 5 0, obtenemos ( ) 5 1, de donde y 5 6b; cuando y 5 0, b obtenemos ( ) 5 1, con lo que x 5 6a. Así, la intersección de la elipse con el eje x a X es conformada por los puntos 5 (2a, 0) y 5 (a, 0), que se conocen como 1 2 vértices de la elipse. La intersección de la elipse con el eje Y es conformada por los y puntos 5 (0, 2b) y 5 (0, b). La distancia d( , ) 5 || 2 || 5 2a se llama eje b x 1 2 1 2 1 2 mayor de la elipse; y la distancia d( , ) 5 || 2 || 5 2b se llama eje menor de 1 2 1 2 la elipse. F 2a  5 (2c, 0) F  5 (c, 0) a x 1 2 En los ejercicios se propone obtener la ecuación cartesiana de la elipse E( , a, b), donde a, b, c [ R , y los puntos 5 (0, 2c) y 5 (0, c) fijos están localizados en 2b 1 1 1 Figura 2.34 DBA 5 (Ev. 4) Representa lugares geométricos en el plano cartesiano, a partir de su expresión algebraica. 121]]> L 5 {u} En la Figura 2.31. se muestra la recta tangente L a la elipse E( , a, b) en el punto  5 (2a, 0). Se tiene E( , a, b) > L 5 { }. u  De manera similar, tratamos el caso de la recta tangente L a E( , a, b) en el punto 2a 0 a x 5 (2a, 0). E(0 , a, b) L En el segundo caso, suponemos que (x , y ) [ E( , a, b) con x ≠ ±a, exactamente 0 0 2b 2a < x < a. En la Figura 2.32. se muestra la recta tangente L a la elipse en el punto 0 Figura 2.32. 5 (x , y ) [ E( , a, b). 0 0 122 DBA 5 (Ev. 3) Utiliza las expresiones simbólicas de las cónicas y propone los rangos de variación para obtener una gráfica requerida.]]> c y, b 5 a 2 c , 2 2 2 5 (0, 2c), 5 (0, c). 1 2 La elipse de centro y de eje transverso el eje y se denota con E y se define como el conjunto E 5 5 [ R | || 2 || 1 || 2 || 5 2a 6 . 2 1 2 Los puntos fijos 5 (0, 2c), 5 (0, c) se llaman focos de la elipse y la recta que pasa por y se llama eje 2 2 1 1 transverso. Obtén: ( ) ( ) x y 2 E( , a, b) 5 5 5 (x, y) [ R | b 1 a 5 1 6. 124]]> para indicar un valor En la Figura 3.4. se ilustran las fuerzas que actúan sobre este sistema. Para facilitar el aproximado. estudio, se considera el sistema de referencia ortogonal de modo que el eje x coincide con la rampa, y el eje y es perpendicular a esta. En este sistema de coordenadas, se muestran las fuerzas que obran sobre el sistema (Figura 3.5.). N F x Suelo Rampa f r 0 Rampa a p Nivel del suelo Nivel Del Suelo Figura 3.3 Figura 3.4 Figura 3.5 158 DBA 3 (Ev. 1) Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas.]]> 15}, b. B={(i; j) ∈ S | 2 < i < 5; 8 < j <12}, c. C={(i; j) ∈ S | i + j = 12}, d. D={(i; j) ∈ S | i + j < 10}, e. E={(i; j) ∈ S | 2i + j > 10}. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta f. Determina los eventos A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, A ∩ E. g. Determina los eventos A ∪ B, B ∪ C, C ∩ D, A ∩ E. 11. Verifica la solución del siguiente ejercicio. Sea E={j ∈ ℤ | ∙j∙ ≤ 400} el conjunto referencial. Consideramos los conjuntos A={16m | m ∈ E}, B={20n | n ∈ E}, C={80p | p ∈ E}=A ∩ B. Determina n(A ∪ B). En primer lugar, si j ∈ E, | j| ≤ 400 –400 ≤ j ≤ 400. Luego, el conjunto E es finito, n(E)=801. Tenemos E={–400, ···, –2, –1, 0, 1, 2, ···, 400}. Como A ⊂ E, n (A) ≤ n(E) = 801, de manera similar sucede con B ⊂ E, n(B) ≤ 801, n (A ∩ B) ≤ 801. Observamos que el conjunto A está constituido por múltiplos de 16, el conjunto B está constituido por múltiplos de 20, y C, por múltiplos de 80. Más aún, A={16m | m ∈ E}={–400, ···, –16, 0, 16 ···, 400}, B={20n | n ∈ E}={–400, ···, –20, 0, 20 ···, 400}, C={80p | p ∈ E}=A ∩ B {–400, –320, –240, –160, –80, 0, 80, 160, 240, 320, 400}, con lo que n (A)=51, n (B)=21, –n(A ∩ B)=11. 176]]> 0 está definida como: Glosario p(A ∩ B) Probabilidad. En un proceso p(A | B)= . p(B) aleatorio, razón entre el número de casos favorables y Con el ejemplo del juego del cuarenta: A ∩ B=A, el número de casos posibles. Evento. Eventualidad, hecho p(A ∩ B) 4 Imprevisto o que puede p(A | B)= = . p(B) 12 acaecer. DBA 10 (Ev. 4) Usa la probabilidad frecuencial para interpretar la posibilidad de ocurrencia de un evento dado. 185]]> 0, entonces A ∩ B=B y en consecuencia, Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta probabilidad son: 0≤P(A)≤1. p(A ∩ B) p(B) La probabilidad de un p(A | B)= p(B) = p(B) =1. suceso es un número comprendido entre 0 y 1. c. Si A ⊂ B y p(B) > 0, entonces A ∩ B=A, p(A) ≤ p(B), luego, P(E)=1, P(∅)=0. La probabilidad del suceso p(A ∩ B) p(A) seguro es 1, y la del suceso p(A | B)= p(B) = p(B) ≤1. imposible es 0. MUESTRA EDITORIAL Con base en la probabilidad condicional, se definen los eventos dependientes e independientes y las probabilidades de esta clase de eventos. Definición. Sean S un espacio muestral, y A, B dos eventos de S. a. Se dice que estos dos eventos son independientes si y solo si se verifica p(A | B)=p(B). b. La probabilidad de los eventos independientes A, B está relacionada como: p(A ∩ B)=p(A) × p(B). c. La probabilidad de los eventos dependientes A, B está relacionada como: p(A ∩ B)=p(A) × p(B | A). La negación de dos eventos independientes hace que los eventos sean claramente dependientes. Nota que dos eventos, A, B, son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera la probabilidad de que el otro evento suceda. Se tiene: p(A)=p(A | B) y p(B)=p(B | A). Por ejemplo, si se lanzan dos monedas de un dólar, el resultado de obtener una cara o una cruz de una de ellas no se ve afectada por el resultado de cara o cruz de la otra moneda. 186]]> 0. Tomando en 3. Analiza y resuelve. consideración la definición de probabilidad El restaurante de la familia ABCD vende sopas con condicional, verifica las siguientes propiedades. tres tipos de carnes: cerdo, pollo y res. Estos platos pueden o no llevar patacones. En la tabla, se a. p(∅ | C)=0. muestran los porcentajes (probabilidades) de clientes que prefieren cada tipo. Cerdo Pollo Res (R) Total (C) (P) b. p(A ∖ B | C)=p(A | C)–p(A ∩ B | C). Con patacones 0,4 0,3 0,2 0,9 (Pat) Sin patacones 0,05 0,025 0,025 0,1 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta c. p(A | C)=1–p(A | C). (Spat) C Total 0,45 0,325 0,225 1,0 d. p(A ∪ B | C)=p(A | C)+p(B | C)–p(A ∩ B | C). a. p(C ∪ Pat). b. p(P ∪ Spat). e. Si A ⊂ B, entonces p(A | C)≤p(B | C). c. p(R ∪ Pat). 2. Sean A, B, C tres sucesos mutuamente indepen- dientes, comprueba, con un ejemplo, que las siguientes condiciones se verifican. 4. Completa el proceso de solución del siguiente problema. En una urna hay 7 bolas rojas y 3 bolas azules. Se a. p(A ∩ B)=p(A)×p(B). escogen al azar 3 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las bolas seleccionadas sean rojas? a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola b. p(A ∩ C)=p(A)×p(C). sea roja? p(A)= 10 c. p(B ∩ C)=p(B)×p(C). b. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja, con la condición de que la primera fue roja? d. p(A ∩ B ∩ C)=p(A)×p(B)×p(C). p(A | B)= 9 191]]>0 Valores de v.a.d x 1 0 1 2 n i ∑ p[X=x ]=1; i Probabilidad p[x=x ] 1/4 1/2 1/4 es decir, i=1 1 La interpretación que damos a la función de probabilidad es la siguiente: p[X=x ]+p[X=x ]+… 1 2 +p[X=x ]=1. n p[x=0]=1/4; es la probabilidad de obtener cero caras. Las propiedades de la función p[x=1]=1/2; es la probabilidad de obtener una cara. de distribución son las siguientes: Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta p[x=2]=1/4; es la probabilidad de obtener dos caras. • La función es creciente, con 4.3 Función de distribución lím F(x)=0 y lím F(x)=1 x –∞ x ∞ Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x , x ,… x , se define la función 1 n 2 de distribución de X como: • p[ a< x≤ b]= p[ x≤ b]– p[x≤a] F(x)=p(X≤x)= ∑ p[x=x ]. • p[x>a]=1–p[x≤a]. x i 2]= 3. Analiza y responde. Se desea realizar un estudio sobre el número de crías en una camada. Se define la variable aleatoria discreta X= “número de crías de una camada”; x toma los valores 0, 1, 2, 3, con las probabilidades que i se muestran en la tabla. x 0 1 2 3 i p[x=x ] 0,2 0,3 0,3 0,2 1 a. ¿Cuál es la probabilidad de que una camada tenga dos crías? b. Elabore el gráfico de la función de probabilidad 196]]> 40]. p[30< x < 60]. Dibujen en su cuaderno los gráficos de la función de probabilidad y de la función de distribución. Actividad indagatoria Analiza y decide los procedimientos para resolver el siguiente ejercicio. Se define la variable aleatoria discreta X=“número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas al aire”. a. Elaboren un diagrama de árbol y determinen el espacio muestral. b. ¿Cuál es la función de probabilidad? ¿Qué significa? c. Elaboren en su cuaderno el gráfico de la función de probabilidad. d. Determinen la función de distribución. e. Dibujen en su cuaderno el diagrama de la función de distribución. Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está determinada por la siguiente tabla: x 1 2 3 4 5 i p 0,1 0,3 0,2 0,3 i ¿Cuál es el valor de p[x=3]? 199]]>