C. 5. A 5 A' 5 CA. Se denomina AøB al c subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al 3. D 2 A. 6 FD 2 (A' D D')G ù F(B' < A)'G. conjunto A o B. AøB 5 {x [ E|x [ A ~ x [ B}. ~ conectivo lógico 23 4 disyunción. A 5 323, 43 Intersección AùB Se denomina AùB al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al 1 conjunto A y a B. B 5 12`, 12 AùB 5 {x [ E|x [ A ` x [ B}. ` conectivo lógico conjunción. Diferencia A\B 25 9 La diferencia de A y B se denota A\B. Es C 5 325, 94 el subconjunto de E, constituido por los elementos que pertenecen a 21 A pero no a B. A\B 5 {x [ E|x [ A ` x Ó B}. D 5 321, `3 Complementario A c El complemento de A, que se c denota A , es el subconjunto de E, constituido por los Respuestas: 4. B D D 5 (2`, 21) < F1, `F. elementos de E que no pertenecen a A. c 1. A < B 5 (2`, 4). A 5 {x [ E|x Ó A} 5 E \ A. 5. A 5 (2`, 2 3) < F4, `F. Diferencia simétrica A D B c 2. B ù C 5 F25, 1F. 6 FD 2 (A' D D')G ù F(B' < A)'G 5 [. (Se La diferencia simétrica de A y B, que se nota A D B, es el debe tener cuidado con el proceso de conjunto (A\B) ø (B\A). solución paso a paso). A D B 5 (A\B) ø (B\A). DBA 1 (Ev. 3). Construye representaciones de los conjuntos numéricos y establece relaciones acordes con sus propiedades. 17]]> 0 muy cercanos de consumos bajos y otra 0, v(x) toma valores muy grandes. Por ejemplo: para altos. 1 1 5 25 v(10 ) 5 5 10 , v(10 210 ) 5 5 10 10 y Dominio y rango 10 10 2 2 Y así sucesivamente. Mientras que para valores 5 de una función x muy grandes, v(x) > 0 es muy cercano de cero. 4 Por ejemplo: 3 1 1 2 5 10 25 v(10 ) 5 5 10 , v(10 ) 5 5 10 210 10 10 1 (La función v es estrictamente decreciente). 0 1 2 3 4 5 6 x t.ly/6k6QU La Figura 2.15 muestra la gráfica de la función v. Figura 2.15. EBC 11. Analiza las propiedades de la gráfica de una variedad de funciones en el plano cartesiano. 27]]> 0, 2 x 1 2 actividades humanas x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 relacionadas con el mar? de donde x 2 x 2 0, que implica x . x 2 0, o sea, f(x ) . (x ) o lo que es lo 2 1 2 1 2 1 mismo, f(x ) , (x ). 1 2 Así, ;x , x [ F0, `F, x , x 2 f(x ) , (x ), que prueba que la función raíz cuadrada es 2 1 1 1 2 estrictamente creciente en el intervalo [0, `[. Simbología matemática Aprende la siguiente Calculemos algunos valores de esta función: simbología matemática: 1 1 f(0) 5 0, f 5 , f(1) 5 1, f(2) 5 2 , • ;x , x [F0, `F, se lee: 4 2 1 2 "para todo equis f(3) 5 3, f(4) 5 2, f(9) 5 3. uno, equis dos que pertenecen al inter- Además, si consideramos que la función raíz cuadrada es estrictamente creciente, valo semiabierto a la podemos construir su gráfica, que se muestra en la Figura 2.16. derecha, desde cero Observemos que, por ser la función raíz cuadrada estrictamente creciente, esta se inicia en al infinito". el origen y se extiende a la derecha y hacia arriba. Además, para x, tan grande como se • x $0 se lee: "la raíz quiera, x es igualmente grande. 1 cuadrada de equis uno es mayor o igual a cero". y 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 4 Figura 2.16 28 EBC 11. Comprende el concepto de función real de variable real.]]> Dom(g) c. Define la función 2f y traza las gráficas de las Dom(f / g) 5 Dom(f) > Dom(g) 2 {g(x) 5 0} 2 funciones f y 2 f. 2f(x) 5 x 11 21; sí 21 # x , 0 2 1 2 x 11; sí 0 # x , 1 Efectúa las operaciones y determina su dominio. d. Prueba que f 1 f 5 2f, donde 2 f 1 f 5 2f 5 2 2 2 x 11; sí 21 # x , 0 i. Sean: f(x) 5 x ; g(x) 5 3x 2 5 2 2 x 1122; sí 0 # x , 1 (2f)(x) 5 2f (x), ; x [ [21,1]. 2 1 2 (2x) 11; sí 21 # x , 0 Domf(x) 5 F0, 1 `F ; Domg(x) 5 R f(x) 5 2 (2x) 1121; sí 0 # x , 1 e. Prueba que f es una función par. Dom(f ∩ g)(x) 5 F0, 1 `F 3. Sea w la función real definida en [0,4] a. (f 2 g))x) 5 x 2 3 x 15 2 2 x, si 0 # x , 2, como sigue: w 5 (x 2 2)2, si 2 # x # 4. Dom(f 2 g)(x) 5 F0, 1 `F a. Calcula w (0), w (1), w (2), w (3), w (4). x w(0) 5 2, w(1) 5 1, w(2) 5 0, w(3) 5 1, w(4) 5 4. b. (f / g)(x) 5 3x25 b. Define la función 2w y traza las gráficas de las Dom(f / g)(x) 5 F0, 1 `F2 5 funciones w y 2w. 2w 5 6 2 3x; sí 0 # x , 2 3 2(x 22) ; sí 2 # x # 4 2x 13 4x 2 2 c. Prueba que w 1 w 1 w 5 3w, donde ii. Sean: f(x) 5 3x 2 2 ; g(x) 5 3x 2 2 6 2 3x; sí 0 # x , 2 Domf(x) 5 ; (3w)(x) 5 3w(x), x [ [0,4]. 3w 5 2 2 3(x 22) ; sí 2 # x # 4 R2 3 4. Sean f, g las funciones reales definidas como sigue: Domg(x) 5 2 R2 3 1 Dom(f ∩ g)(x) 5 2 f (x) 5 1 1 x 2, g (x) 5 x2 1 1, R2 3 a. (f 1 g)(x) 5 6x13 ; x [ R. Define la función que en cada ítem se 3x 2 2 propone. En el sistema de coordenadas rectan- Dom(f 1 g)(x) 5 R2 2 gulares, represéntala gráficamente junto con las 8x 112x 3 2 funciones f, g. b. (f 3 g)(x) 5 (3x 2 2) 2 a. fg. 1 Ver respuesta en lynk.ec/13m15. Dom(f 3 g)(x) 5 R2 2 3 b. (2f) g. Ver respuesta en lynk.ec/13m15. iii. Sean: f(x) 5 x 2 1; g)(x) 5 2x 1 5; 56]]> g)(x) 5 G1, 5G rectangulares, representen las funciones a. (f 1 g)(x) 5 x2 1 1 25x 15 f, g, f 1 g. Ver respuesta en lynk.ec/13m15. Dom(f 1 g)(x) 5 F1, 5G 9. Sea w la función real definida en [0,4] como sigue: b. (f / g)(x) 5 x2 1 2x 15 3 2 x, si 0 # x , 3, w(x) 5 Dom(f / g)(x) 5 F1, 5F (x 2 3) , si 3 # x # 4. 2 7. A continuación, se muestra la gráfica de dos a. Calculen w(0), w(1), w(2), w(3), w(4). funciones y la operación indicada. Escribe el Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta resultado de la operación y su dominio. b. Prueben que la función w es estrictamente decreciente sobre [0,3[ y estrictamente creciente sobre [3,4]. 3 y c. Definan la función 2w y tracen las gráficas de las funciones w y 2w. 2 Ver respuesta en lynk.ec/13m15. f(x) = √x 10. Sea u la función real definida en [–1,1] como sigue: 1 1 2 x, si 2 1 # x # 0, g(x) = x – 2 u(x) 5 x 1 2 x2, si 0 , x # 1. –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Se definen las funciones v, w, como –1 1 v(x) 5 Su(2x) 1u(x)), x [ [21,1]. –2 2 1 w(x) 5 (u (2x) 2u(x)), x [ [21,1]. f(x)1 g(x) 2 –3 Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. 1 1 a. Calculen v(21), v( ), v(0), v(2 ), v(1). 2 2 8. Las funciones reales f, g están definidas en [–1, `[ En el mismo sistema de referencia, tracen las como se indica a continuación: gráficas de las funciones u y 2v. f(x) 5 x 1 1, g(x) 5 2 2 x , x [ [21, `[. Ver respuesta en lynk.ec/13m15. a. Calculen (f 1 g)(21), (f 1 g)(0), (f 1 g)(3), (f 1 g)(8). Trabajo colaborativo Al realizar trabajos en equipo se fortalecen las relaciones entre alumnos con discapacidad y sus compañeros de clase sin discapacidad, por lo tanto, se sienten integrados. 57]]> 1. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 3. La función tiene asíntota horizontal en y 5 0. Traza las gráficas de f(x) 5 5 1 2 y de f(x) 5 5 (x 1 2) . Analiza qué x sucede en cada caso. 2. La función f(x) 5 5 1 2 se desplazó dos uni- 3. La función f(x) 5 5 (x 1 2) se desplazó dos uni- x dades hacia arriba, al igual que su asíntota, dades a la izquierda, y la asíntota se mantiene y 5 2. La función sigue siendo creciente. en y 5 0. La función sigue siendo creciente. Practica las gráficas de funciones exponenciales con los ejercicios de la página 114 de este texto. 63]]>2 a. lim [f(x)+g(x)] x a a. Evalúa cada uno de los límites. Encuentra f(x) 3 para los valores x indicados. f(x) b. lim ∙ ∙ lim f(x) lim f(x) x a g(x) x 2 – x 0 + 9 - 4 MUESTRA EDITORIAL 1 7 3 c. lim [f(x)] √g(x)] lim f(x) lim f(x) 2 x a x 2 + x 0 – 16 7 5 1 3 d. lim [f(x)g(x)] lim f(x) lim f(x) x a x 2 x 0 -28 No existe 1 e. lim [3g(x)] f(0) lim f(x) x a y x 1 No está definido 11 4 21 10 b. Realiza un bosquejo de la gráfica de f. 3. Evalúa los límites indicados. 9 8 a. lim x–16 8 7 6 x 16 √x–4 5 4 b. lim √t+5–3 3- 6 3 t 1 3 2 t–4 1 x 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 c. lim x –2x–15 0 21 x –3 x +2x–112 22 2 23 24 25 26 84 27 28]]> 0, resulta, d(x, y)=∙x–y∙= y–x. Competencia así, ∙ d(x, y)=x–y, si x ≥ y, matemática d(x, y)=y–x, si x < y, Si u=x–y, v=y–z, se tiene A la distancia entre dos números reales la denominaremos métrica usual en ℝ y, como u+v=x–y+(y –z)=x–z, se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales. y la desigualdad 1. Para x=–3, y=1, se tiene d(–3, 1)=∙–3 –1∙=∙–4∙=4. |u+v|≤|u|+|v| MUESTRA EDITORIAL se transforma en 2. Si x=4,6=y, entonces d(4,6; 4,6)=∙4,6–4,6∙=0. |x–z|≤|x–y|+|y–z|; 3. d(–8, –2)=∙–8 –(–2)∙=∙–8+2∙=∙–6∙=6. esto, en términos de la distancia entre dos 3.2 Propiedades de la métrica usual en ℝ números reales, se expresa como Teorema. Sean x, y, z ∈ ℝ. Se verifican las siguientes propiedades. d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z), a. d(x, y)≥0. que hemos obtenido en la demostración del punto d. b. d(x, y)=0 x=y. del tema 3.2. c. d(x, y)≥ d(y, x). d. d(x, z)≤ d(x, y)+d(y, z) (desigualdad triangular). Demostración. Estas propiedades resultan inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. a. Puesto que ∙x–y∙≥0, se sigue que d(x, y)=∙x–y∙≥0. Simbología b. De la definición de distancia entre dos números reales, se tiene matemática d(x, y)=∙x–y∙, luego, Aprende la siguiente d(x, y)=0 ∙x–y∙=0 x–y=0⇔x=y. simbología matemática: A la distancia entre dos Por lo tanto, d(x, y)=0 x=y. números reales la c. Tenemos d(x, y)=∙– 1(y–x)∙=∙–1∙∙y–x∙=d(y, x). Así, denominamos métrica d(x, y)=d(y, x). usual en ℝ y se representa por d. Por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene d(x, y)=|x–y|, x, y∈ ℝ. d(x, y)=∙x–y∙, d(y, z)=∙y–z∙. Luego, d(x, z)=∙x–z∙=∙x–y+y–z|≤∙x–y∙+∙y–z∙=d(x, y)+d(y, z). Conclusión: d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z). 86 EBC 1. Explora y comprende el concepto de límite de una sucesión y de una función.]]> 0 y x=–2,5+h, se tiene d(–2,5; x) –0,05 0,25 0,05 =d(–2,5; –2,5+h)=∙–2,5+h–(–2,5)∙=–2,5+h–(–2,5)=h. –0,001 0,299 0,001 –0,000 025 0,299 995 0,000 025 Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x=–2,5+h se aproxima cada vez más a x =–2,5. –0,000 0001 0,299 999 9 0,000 0001 0 En la tabla 3.1 se muestran algunos de estos valores y p Tabla 3.3 d(–2,5, x)=∙–2,5–(–2,5+h)∙=h. 2. Sean x =3,2; y=3,2+h, h ∈ ℝ. En la tabla 3.2 se muestran algunos valores de 0 h > 0, de y=3,2+h y la distancia d(3,2; y)=∙3,2–(3,2+h)∙=h. Observamos que para valores de h>0 que tienden a cero, y=3,2+h tiende a 3,2. Nota que para valores de h>0 cada vez más pequeños, se tiene que d(3,2; y)=d(3,2; 3,2+h)=h son igualmente cada vez más pequeños. 3. Sea x =0,3. Consideramos y=0,3+h, h ∈ ℝ. En la tabla 3.3 se muestran algunos 0 valores de h < 0, de y=0,3+h y la distancia d(0,3; y)=d(0,3; 0,3+h)=∙0,3–(0,3+h)∙=–h. Los resultados de la tabla muestran que para h>0 y h que se aproxima a cero, y=0,3+h se aproxima cada vez a 0,3. 87]]>0. Los conceptos de límite y 0 0 0 0 0 0 0 continuidad son la base Para valores de h>0 y h cada vez más próximos de cero, x +h es cada vez más del estudio del cálculo próximo de x . 0 diferencial e integral; sobre 0 estos conceptos daremos aquí los primeros pasos. El 3.3 Noción intuitiva de límite significado más próximo Las nociones que introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que al matemático de la palabra "límite", dado por se dan en el cálculo diferencial e integral. el Diccionario de la Lengua Española, es: "término, Recordemos la definición de valor absoluto de un número real t: fin, extremo, confinante, Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta aledaño", “línea que separa dos terrenos contiguos”, ∙ t, si t ≥ 0, “punto del cual no se puede ∙t∙= –t, si t < 0. extender una acción, una influencia, un estado”. De esta definición y de la distancia entre dos números reales, se tiene: En cuanto a la palabra “continuo”, encontramos “sin Si x≥y, entonces x–y≥0, con lo que d(x, y)=∙x–y∙=x–y. Si x” en el siguiente sentido: figuras que contribuyeron al desarrollo del concepto sea 0<δ<1, diremos que x ∈ ℝ con x≠0 es pequeño (suficientemente pequeño) con de límite. respecto de δ, si se verifica que ∙x∙<δ. Ejercicio 3 1. Sea δ=0,1. Todo número real x≠0 tal que ∙x∙<0,1 es pequeño con respecto de δ=0,1. Así, si x=–0,05, se tiene ∙–0,05∙=0,05<0,1; con lo que x=–0,05 es pequeño respecto de δ=0,1. Por el contrario, x=0,15 no es pequeño respecto de δ=0,1, pues x=0,15>0,1=δ. Simbología Notación matemática Conoce algunas letras del Escribiremos x 0, que se lee “x tiende a cero” o también “x se aproxima a cero”, para alfabeto griego. indicar que ∙x∙ puede hacerse tan pequeño como se quiera. Es decir que para cada alfa α eta ϵ >0, se tiene ∙x∙< . beta β theta (tita) τ gamma γ iota ι También se dice “∙x∙ es suficientemente pequeño”. Damos a continuación una interpretación de esta formulación. delta δ kappa κ épsilon ϵ lambda λ Sea x ∈ ℝ fijo. Dado x ∈ ℝ con x≠x , por la propiedad de tricotomía, se verifica una y 0 0 zeta ζ mu μ solo una de las dos condiciones siguientes: 88]]>x . 0 0 Competencia Para precisar la notación x x que se lee “x tiende a x ” o también “x se aproxima a x ”, matemática 0 0 0 veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender este significado. Aprende la siguiente simbología matemática: 1. Consideremos el caso x>x . Se tiene d(x , x)=∙x –x∙=x–x >0. 0 0 0 0 x 0 se lee “x tiende a cero” o también “x se Sea x =–2,5. Consideremos la función real f, definida como f(h)=–2,5+h, aproxima a cero”. 0 h ∈ ℝ. Primeramente, calculemos las distancias que se muestran en la tabla 3.4: x x que se lee “x tiende 0 d(–2,5; –2,49)=∙–2,5–f(0,01)∙=2,5–2,49=0,01; a x ” o también “x se 0 aproxima a x ”. 0 d(–2,5; –2,495)=∙–2,5–f(0,001)∙=2,5–2,499=0,001; d(–2,5; –2,499 9)=∙–2,5–f(0,000 1)∙=2,5–2,499 9=0,000 1; Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta d(–2,5; –2,499 998)=∙–2,5–f(0,000 002)∙=2,5–2,499 998=0,000 002. Se observa que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 98 se aproximan cada h f(h)=–2,5+h d(–2,5; f(h)) vez más a –2,5. Para h>0 y x=f(h)=2,5+h, se tiene d(–2,5; f(h)) =d(–2,5; –2,5+h) =∙–2,5+h–(–2,5)∙=–2,5+h–(2,5)=h. 0,1 –2,4 0,1 0,01 –2,49 0,01 Si asignamos valores a h>0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x=f(h)=–2,5+h se aproxima cada vez más a x =f(0)=–2,5. 0,001 –2,499 0,001 0 En la tabla 4 se muestran algunos de estos valores y 0,000 1 –2,499 9 0,0001 0,000 01 –2,499 99 0,000 01 d(–2,5; f(h))=∙–2,5–(–2,5+h)∙=h. 0,000 002 –2,499 998 0,000 002 3.4 Noción de límite de una función real p Tabla 3.4 Definición precisa de límite En los ejercicios anteriores dimos una definición intuitiva del límite de una función utilizando tablas y gráficos de funciones para intuir el valor del límite, lo que permitió concluir que lim f(x)=L, significa que f(x) se acerca tanto a L, siempre y cuando x se x a acerque tanto a a sin que sea igual a a. Esto significa que para cualquier ε>0, existe un δ>0, tal que, si 0<∙x–a∙<δ entonces ∙f(x)–L∙<ε Competencia y y y matemática L + ε Del punto de vista ε L + ε L + ε intuitivo, a medida que L L L ε a + δ L − ε L − ε ∙h∙ se hace cada vez más L − ε pequeño o próximo a cero, la distancia de f(h) a L es a − δ f(x) f(x) f(x) también muy pequeña. a x a x a x δ δ δ δ δ δ (a) (b) (c) Figura 3.1 89]]>0. Elija δ= ε 2 Supongamos que 0<∙x–1∙<δ Por lo tanto, ∙(2x+1)–3∙=∙2x–2∙ =∙2(x–1)∙ =∙2∙∙x–1∙ =2∙x–1∙ <2.δ ε =2. 2 = ε Por lo tanto, lim(2x–1)=3. x 1 90 EBC 11. 1. Comprende el concepto de función continua.]]>0; elija δ=min{1, }; asuma que 0<∙x–1∙<δ. 2 Dado que ∙x–1∙<1, podemos concluir que –10, y tomando en consideración que h 0 h 0 si ∙h∙<1, se tiene h ≤∙h∙, entonces 2 ϵ 2 2 2 d(f(h), L)=d(L+2h , L)=∙L+2h –L∙=2h ≤2∙h∙ < ϵ ∙h∙< . 2 ε Elegimos δ= . Luego 0<∙h∙<δ d(f(h), x )<ε 2 0 2 Esta última implicación significa que lim f(h)=lim (L+2h )=L h 0 h 0 En otras palabras, f(h)=L+2h se aproxima a ∙L∙, conforme h se aproxima a cero, o lo que es lo mismo, la distancia 2 2 de f(h)=L+2h a L es suficientemente pequeña conforme h es suficientemente pequeño. 91]]>25,32 y d(x; 25,32)<δ. 00 que se dan en la tabla, 0,001 5 0,499 997 75 0,500 002 25 1 calcula u(h)=1,5–h, v(h)=1,5+h, w(h)=1,5– h. – 0,001 5 0,499 999 998 0,500 000 003 4 0,000 002 0,5 0,5 1 h u(h)=1,5–h v(h)=1,5+h w(h)=1,5– h a. Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número 2 2 2 0,3 1,2 1,8 1,425 real tiende A(h)=0,5–h , B(h)=0,5+h ? Tiende a 0,5. 0,025 1,475 1,525 1,493 75 0,001 5 1,498 5 1,501 5 1,499 625 b. Para los valores de |h| > 0 que se dan en la tabla, 0,000 05 1,499 95 1,500 05 1,499 987 5 calcular p(h)=2–2h, q(h)=2+4h, r(h)=2+h+ 2 0,000 002 1,499 998 1,500 002 1,499 999 5 10h . Falta respuesta 92]]>0 que se indican 0 0 en la tabla. h x –h x +h h x=5–10h 2 0 0 – 0,1 –2,65 –2,67 0,1 4,9 – 0,0025 –2,657 5 –2,662 5 0,02 4,996 – 0,000125 –2,659 875 –2,660 125 0,003 4,999 91 – 0,0000001 –2,659 999 9 –2,660 000 1 0,000 4 4,999 998 4 – 0,01 –2,65 –2,67 0,000 05 4,999 999 975 – 0,001 –2,659 –2,661 ¿Qué pueden decir acerca de los resultados? 2 Encuentren lim (5–10h ). 5 7. Para los valores de |h|≥0,3 que se dan en la tabla. h 0 Calcula y responde: Para h suficientemente Calculen x para cada uno de los valores h<0 que se indican pequeño. en la tabla. ¿Qué pueden decir acerca de los resultados? 2 ¿A qué número real tienden A(h)=075–h y h 2 B(h)=075+h ? Los dos tienden a 0,75. x=5–10h 2 – 0,3 4,1 h x –h x +h 0 0 0,3 0,66 0,84 – 0,02 4,996 – 0,00 1 4,999 99 – 0,025 0,749 375 0,750 625 – 0,000 5 4,999 997 5 0,001 5 0,749 997 75 0,750 00225 – 0,000 08 4,999 999 936 – 0,000 05 0,749 999 997 5 0,750 000 002 5 2 0,001 0,749 999 0,750 001 Hallen lim (5–10h ). 5 h 0 0,000 000 2 0,75 0,75 93]]>0 corresponde un δ>0, x c + tal que 0M. Límites infinitos Lo anterior significa que f(x) puede ser tan grande como se quiera, siendo siempre f(x)>M y tomando valores para x tan cercanos a c por la derecha como se desee. Las definiciones formales de estos límites: lim f(x)=–∞; lim f(x)=∞ y lim f(x)=–∞ x c – – + los dejaremos a los estudiantes que les gustan los retos. x c x c t.ly/tzwuk 96 EBC 11. 1. Investiga y comprende límites infinitos y en el infinito.]]>0 existe un número c tal que si x>c, x ∞ entonces x pertenece al dominio de f y f(x)>M. y lim f(x)=∞ x ∞ 5 y=f(x) M 0 c 5 10 x Figura 4.4 Decimos que lim f(x)=–∞ si se cumple la condición siguiente: para todo M<0 existe un número c tal que si x>c, x ∞ entonces x pertenece al dominio de f y f(x)1, ocurre lo mismo que con e : x lim a =∞ lim a =0 x x x ∞ y x –∞ Si 01 2 x–2 5+x 3. h(x)= No es continua x–2 2 si x≤5 Discontinuidades: x=4, x=5 4. f(x)=√x–4 No es continua 17. h(x)= ∙ x–4 si x>5 Continua en: (−∞,4), (4, 5), (5,∞) x Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 5. h(x)=∙x–2∙ Continua 2x–5 3 ∙ x –8 si x≠2 4–x si x≤2 Discontinuidades: x=2, x=3 2 6. g(x)= x–2 Continua ∙ 2 si 23 7. h(x)= Continua x–4 3 ∙ x –27 si x≠3 Continua Trabajo colaborativo 8. f(x)= x–3 23 si x=3 Formen grupos de cuatro estudiantes. Encuentren en qué puntos hay alguna discontinuidad en las siguientes 9. h(x)=∙ –2x+7 si x≤3 Continua funciones racionales. Grafiquen cada una de las funciones. si x>2 5 1 f(x)= x +6x+9 Discontinua 2 10. h(x)=∙ x–5 si x≤5 No es continua x 2 si x=5 5–x f(x)= x –x–12 Discontinua 2 En los ejercicios 11 al 15, determina en qué puntos las funciones son discontinuas. Actividad indagatoria 2x–1 11. f(x)= Discontinua Escoge uno de los siguientes contextos y como se x–10 relaciona con la idea de continuidad: 12. f(x)=tan x Discontinua • Ciencia: ¿cómo se relaciona la continuidad con el movimiento de objetos (por ejemplo, un carro en 2x+5 movimiento)? 13. f(x)= √x+3 Discontinua • Naturaleza: ¿cómo se manifiesta la continuidad en el crecimiento de una planta? 1 14. f(x)= Discontinua • Tecnología: ¿cómo se aplica el concepto de √1–x 2 continuidad en gráficos y visualizaciones en software (por ejemplo, gráficos de redes sociales)? ∙ x si x<0 • Arte: ¿cómo se observa la continuidad en una 3 15. h(x)= –x si 0≤x≤3 Continua obra de arte (por ejemplo, en el uso de líneas y x si x>3 formas)? 111]]>2 a. 1 b. 5 c. 0 d. No existe 0, x=2 a. 0,2 2 tan 7t 9. lim t 0 9t b. 0 7 9 a. 0 b. 1 c. d. 7 c. 2 9 d. Ninguno 114]]> 0. Entonces, como 0 < |h | < h ≤ |h|, y por la desigualdad triangular, se tiene: una curva en un punto 2 3 asignado. 1 Los primeros trabajos Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 1 | d(10, Q(h)) = 6h + 2h + h | ≤ 6|h| + 2h + 4 |h| < 33 |h| < ε, en esta dirección fueron 2 3 2 3 4 4 4ε 4ε realizados por Fermat, Newton, Leibniz, entre de donde 0 < |h| < . Así, 0 < |h| < d(10, Q(h)) < ε, que significa que: 33 33 otros, pero fue Fermat quien obtuvo un método p(2 + h) – p(2) 1 lím = lím (32 + 24h + 8h + h ) + 2 = 10. para hallar la ecuación 2 3 h→0 h h→0 4 de la recta tangente a A este número real se le llama derivada de la función p en el punto una curva definida por una función polinomial x = 2. Se escribe dp (2) = 10. mediante el análisis del dx cociente incremental. 1.3 Reglas básicas de derivación de funciones algebraicas La derivada de una función se puede obtener directamente al utilizar ciertas reglas básicas de derivación. Estas nos ayudan a simplificar el proceso de derivación, ahorrar tiempo al derivar y disminuir el riesgo de equivocarnos cuando se trata de funciones largas. Nombre Regla Ejemplos Derivada de una constante Sea c una constante, f(x)=c; f '(x)=0 f(x)= 9; f(x)=0 Derivada de una potencia Sea n ∈ ℤ y f(x)=x , f' (x)=nx f(x)= x ; f'(x)=5x 4 5 + n n–1 Sea c una constante: g(x)=cf(x) Derivada del producto de una g'(x)=cf'(x) f(x)= 2x 5 constante por una función f'(x)= 2.5x ; f´(x) = 10x 4 4 Sean f, g dos funciones y h definida por: 2 3 Derivada de la suma o h(x)= x – 2x + 3 diferencia de funciones h(x)=f(x) + g(x), h'(x)=f'(x) + g'(x) h'(x)= 3x – 4x 2 Sean f, g dos funciones y h definida por: h(x)= x (x – 2) 2 5 Derivada del producto de dos 5 2 4 funciones h(x)=f(x) • g(x); h´(x)=f(x) • g´(x) + g(x) • f'(x) h'(x)= x (2x) + (x – 2) 5x h'(x)= 7x – 10x 4 6 Sean f, g dos funciones y h definida por: x + 2 (x – 1) (2x) – (x + 2) (1) 2 2 Derivada del cociente de dos h(x)= f(x) ; g(x)≠0; h(x)= g(x) • f'(x) – f(x) • g'(x) h(x)= x – 1 , h'(x)= (x – 1) 2 , funciones g(x) [g(x)] 2 x – 2x – 2 2 h'(x)= (x – 1) 2 DBA 3 (Ev. 2) Utiliza e interpreta la derivada para resolver problemas relacionados con la variación y la razón de cambio de 121 funciones que involucran magnitudes como velocidad, aceleración, longitud, tiempo.]]> 0. pendiente de la recta 2 4 tangente a la gráfica del Calculamos los desplazamientos en los cinco primeros segundos: polinomio en un punto asignado. S(1) = 17,475 m, S(2) = 30,6 m, S(3) = 41,475 m, S(4) = 48,6 m, S(5) = 49,875 m. El cálculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos Calculamos la velocidad v(t) en cada uno de estos instantes. Para el efecto, calculamos la en movimiento. derivada de la función S. Se tiene: Dado un polinomio p(x) S(t + h) – S(t) de grado 2 definido en un v(t) = lím = 15 – t – 0,1t , t > 0. intervalo [a,b], se tiene: 3 h→0 h Pendiente: Desde el punto de vista físico, la velocidad mide el cambio de desplazamiento instantáneo. m = dp (a) metros m dx Notemos que la velocidad se mide en segundos , lo que se abrevia s (también en Velocidad: kilómetros , que se escribe km ). En los automotores se tiene un dispositivo que mide la v(t) = dp horas h dt velocidad llamado velocímetro. En el panel de los automotores, la velocidad a la que este Aceleración: km dp se mueve se marca en . dv(t) d 1 2 h a(t) = dt = dt dt 2 Calculamos algunos valores de velocidades: = d p dt 2 m m m m m v(1) = 13,9 , v(2) = 12,2 , (3) = 9,3 , v(4) = 4,6 , v(5) = 2,5 . s s s s s Observamos que la velocidad decrece y que, en casi cinco segundos, el automóvil se detiene, habiendo recorrido aproximadamente 49 m. dv v(t + h) – v(t) La aceleración se denota con a(t) y se define como a(t) = (t) = lím . dt h→0 h Desde el punto de vista físico, la aceleración mide el cambio de velocidad instantáneo. Dado que 2 v(t) = lím S(t + h) – S(t) , tenemos que a(t) = d S 2 (t). h dt DBA 3 (Ev. 2) Reconoce magnitudes definidas como razones entre otras magnitudes. Interpreta y expresa 125 magnitudes como velocidad y aceleración, con las unidades respectivas y las relaciones entre ellas.]]> 0. 2 "geometría" significa "medida de tierras". Calculamos la aceleración en los primeros cinco segundos: Los babilonios utilizaron Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta el sistema de numeración a(1) = –1,3 m , a(2) = –2,2 m , a(3) = –3,7 m , a(4) = –5,8 m , a(5) = –8,5 m . sexagesimal, basado en el s 2 s 2 s 2 s 2 s 2 número 60. El signo negativo de la aceleración significa que la velocidad decrece. Ejercicios resueltos Este ejercicio requiere el uso de una calculadora científica. 1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo. Su velocidad, en m está dada por: s 1 Indaga y elabora un V(t) = 2 t , si t ≤ 8, 2 corto ensayo acerca de la historia de la geometría en 33,6 – 0,2t, si t > 8. Babilonia. a. Calculamos la velocidad y la aceleración en t = 5 s. Para calcular la velocidad en t = 5 s, reemplazamos este valor en la primera función. Interdisciplinaria 1 Matemática V(5) = t ; 2 y física 2 1 Muchos fenómenos físicos V(5) = (5) = 25 = 12,5 m . 2 que implican cantidades 2 2 s variables (por ejemplo, la Determinamos la aceleración en t = 5 s. velocidad de un cohete, 1 la devaluación de la La función V(t) = t , t ≤ 8 es una función polinómica; por lo tanto, es derivable 2 moneda por la inflación, en t = 5s. 2 el número de bacterias de 1 2 un cultivo, la intensidad de a(t) = dv (t) = lím v(t + h) – v(t) , a(t) = lím (t + h) – t 2 un movimiento telúrico, dt h 2 h el voltaje de una señal 1 t + 2th + h – t 2 m 2 2 eléctrica, entre otras), se a(t) = lím h ; a(t) = t; a(5) = 5 s 2 . 2 estudian en la asignatura de Física mediante b. Constatamos si existe aceleración al instante t = 8. derivadas. Para ello, se verifica si la función es continua y derivable en 8. Se comprueba, entonces, que en t = 8 la función es continua, pero no derivable. 126]]> 8. . MUESTRA EDITORIAL a. Calcula la velocidad y la aceleración en t = 5 s. Luego, la aceleración a (t) se calcula como: ¿Existe aceleración en el instante t = 10 s? m Para t = 2, a (2) = 9,8 . 3. La pista de un aeropuerto tiene una longitud de s 2 3000 m. Para despegar, debe alcanzar una velocidad de al menos 280 km/h en los primeros En conclusión, el cuerpo ha caído en 2 segundos una segundos. altura de Y (2) = 20,6 m; tiene una velocidad de 20,1 La función de posición viene dada por m m 2 s y una aceleración constante de 9,8 s 2 . S (t) = 2t + 0,95t + 0,11t , t ∈ [0, 60] medida en 3 metros. a. Analiza si en 30 segundos el avión alcanza la En la Figura 2.1 se muestra la gráfica de la función Y, y velocidad mínima requerida. a la derecha se muestra la gráfica de la función V. b. Calcula la distancia recorrida en 30 segundos. c. Calcula la aceleración que alcanza el avión en 30 Los sistemas de referencia, como por ejemplo el segundos. sistema de coordenadas rectangulares, se utilizan d. Encuentra qué distancia ha recorrido y qué para facilitar la comprensión de lo que ocurre en la velocidad tiene el avión en 40 segundos. caída libre de los cuerpos. La parte positiva apunta hacia abajo, como se indica en la gráfica. e. Halla a qué distancia del extremo del aeropuerto se encuentra el avión al minuto de haber iniciado el despegue. Ver respuesta en lynk.ec/11m15. 127]]> 0 (t medido en segundos). 2 1. En el mismo aeropuerto del ejercicio anterior, un avión de carga debe alcanzar una velocidad a. Encuentra el tiempo en el que el automóvil mínima de 216 k/m. superará una velocidad de 100 km/h. La función de posición está dada por Aproximadamente a los 4 segundos . S(t) = 0,05t + 0,2t + 0,008t , t ∈ [0, 60], 3 2 medida en metros. b. Escribe la distancia que ha recorrido el automóvil a los 10 segundos. a. Calculen el tiempo t en el que el avión Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta S(10) = 843 m km alcanza la velocidad de 216 h . c. Indaga la aceleración a los 2 segundos. t = 86,8 s b. Calculen la distancia recorrida en ese tiempo y su aceleración. 9. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes S(t) = 6 742,96 m afirmaciones. c. Calculen la distancia recorrida y la velocidad y aceleración alcanzada al instante t = 60 s. La aceleración es la derivada de la función S(t) = 2 451; V(t) = 110,45; a(t) = 3,28 de la velocidad respecto al tiempo: V 2. Sea p la función polinomial definida como p(x) = ax + bx + cx , x ∈ ℝ, donde a, b, c 5 3 La aceleración es la derivada de la función ∈ ℝ fijos y no todos nulos. del desplazamiento respecto al tiempo: F a. Prueben que p es una función impar. f(–x) = –f(x) La velocidad es la derivada de la función b. Demuestren que: del desplazamiento respecto al tiempo: V dp(x) 2 = a + 3bx + 5cx , ∀x ∈ ℝ. 4 dx 2 a + 3bx + 5cx 4 c. Supongan a > 0, b > 0, c > 0. Prueben que 10. Un cohete despega. La función de desplazamiento p es estrictamente creciente en todo ℝ. del cohete (en metros) está definida de la siguiente x1 < x2 ; f(x1) < f(x2) forma: S(t) = t + 2t – t + 10, t > 0; (t en segundos) d p(x) 3 2 2 d. Demuestren que dx 2 = 6bx + 20cx , 3 Halla la aceleración al primer segundo. ∀x ∈ ℝ. 6bx + 20cx 3 129]]> 0. Esto significa que la función Conclusión: si f(x)= y = loga x., entonces f '(x)= . logarítmica natural solo está definida en el dominio positivo de los Ahora bien, si tenemos f(x) = lnx, entonces f '(x) = . números reales, lo cual es crucial a la hora de aplicar Elaboraremos un cuadro de las fórmulas de derivadas de funciones exponenciales y la derivada en contextos logarítmicas elementales y compuestas: prácticos. Función exponencial o logarítmica Función derivada a x a .lna x e x e x a u(x) a (x) . u'(x) . lna u e u(x) e u´(x) u(x) log a x lnx log a [u(x)] ln[u(x)] Resolvamos algunos ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. 143]]> b > 0 EBC 11. Desarrolla métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas. 147]]> 0, c > 0. Prueba que p es estrictamente Ver respuesta en lynk.ec/12m15. decreciente en ]–∞, 0[ y estrictamente creciente 1 4 como p(x) = 4 + x – x , ∀x ∈ ℝ. en ]0, ∞[. Además, demuestra que p(0) es mínimo 4 a. Calcula el cociente incremental Q(h) con global. dp(x) h ∈ ℝ \ 0, y prueba que la derivada es = 1 d p(x) 2 dx d. Muestra que 2 = 2b + 12cx , ∀x ∈ ℝ. 2 – x , ∀x ∈ ℝ. dx 3 Para ello, muestra que la distancia e. Mediante cálculo del cociente incremental, dp(x) d(Q(h), es suficientemente pequeña dx d p(x) 3 para | h | suficientemente pequeño. obtén dx 3 = 24cx, ∀x ∈ ℝ. Ver respuesta en lynk.ec/12m15. b. Prueba que la función es decreciente en el intervalo ]1, ∞[ y creciente en el intervalo ]–∞, 1[. 5. Un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con 2 19 la ecuación s(t) = 2t – 6t + 4, t ≥ 0, donde s(t) c. Muestra que máx p(x) = . representa el desplazamiento del objeto medido 4 d. Prueba que la función no es par ni impar. en metros, y t es el tiempo medido en segundos. a. ¿Cuál es la velocidad del objeto al cabo de 2s y 5s? 3. Calcula la primera derivada de las siguientes a) v(t) = = 4t – 6, t > 0. dS(t) dt funciones polinómicas de grado ≤ 4. v(2) = 2 m/s, v(5) = 14 m/s. 2 a. f(x) = 4 – 5x + 7x , x ∈ ℝ. df 3 a) (x) = –10 + 21x , ∀x ∈ ℝ. 2 dx b. ¿En qué instante el objeto se encuentra en reposo? b. f(x) = –x + 3x , x ∈ ℝ. df 2 b) (x) = –1 + 6x, ∀x ∈ ℝ. b) v(t) = 0 ⇔ 2t – 6t + 4 = 0 2 dx ⇔ (t = 1 v t = 2). c. f(x) = –5x + 2, x ∈ ℝ. df c. ¿Cuál es la aceleración del objeto al cabo de c) (x) = –5, ∀x ∈ ℝ. dx 2s y 5s? d²S(t) c) a(t) = = 4, t > 0, d(t) d. f(x) = x – 2x + 4, x ∈ ℝ. d) df 3 aceleración constante. 4 dx (x) = 4x – 2, ∀x ∈ ℝ. a(2) = 4, a(5) = 4. 151]]> 0, es decir si 3t – 18t + 15 > 0 o de crecimiento en 2 (t–5)(t–1) > 0. Al resolver la desigualdad sobre la recta numérica y teniendo en el tiempo, como el cuenta que el tiempo es positivo o cero: aumento del PIB. • Costo marginal: La derivada de la función de costos muestra 0 1 5 el costo adicional de producir una unidad más. Podemos concluir que la partícula se mueve hacia adelante o en dirección positiva Ejemplo: Si C(x) representa cuando el tiempo está entre 0 y 1 segundos o cuando el tiempo sea mayor a 5 segundos. el costo total de producir Además, la partícula se mueve hacia atrás o en dirección negativa cuando el tiempo esté x unidades, C´(x) indica el entre 1 y 5 segundos. costo marginal. La partícula se mueve hacia adelante cuando 0 < t < 1 o t > 5. La partícula se mueve hacia atrás cuando 1 < t < 5. d df f. a(t) = s"(t)=V´(t)= ( ) = f '' (t) = 3t–18 dx dx g. a(2) = v ' (2) = f '' (2) = 3.2–18 = –12 m/s (la partícula se desacelera a partir de 2 los 2 segundos). a(7) = v ' (7) = f '' (7) = 3.7–18 = 3 m/s (la partícula se desacelera a partir de los 7 2 segundos). h. El diagrama de movimiento de la partícula es el siguiente: t=5 s t=0 s t=1 s s=-25 m s=0 m s=7 m 157]]>5 segundos. -2 2. Movimiento hacia atrás (v(t)´0): -4 la partícula se mueve en dirección negativa entre t=1y t=5 segundos. -6 3. Aceleración negativa (a(t)<0): -8 Entre t=0 y t=3 segundos, la aceleración disminuye la velocidad de la partícula, -10 ya sea que se mueva hacia adelante o -12 hacia atrás. 4. Aceleración positiva (a(t)>0): -14 Para t.3 segundos, la aceleración -16 aumenta la velocidad, favoreciendo el movimiento hacia adelante. -18 -20 -22 a(t) = 6 t -18 -24 3 2 s(t) = t - 9 t + 15 t j. Las funciones de posición, velocidad y aceleración tanto en el diagrama como en las gráficas muestran que la partícula se mueve hacia adelante entre 0 y 1 segundos y en los tiempos mayores que 5. Se mueve hacia atrás o en dirección negativa entre los tiempos 1 y 5 segundos. Además, la partícula está acelerada negativamente entre los 0 y 3 segundos y con aceleración positiva en tiempos mayores a 3 segundos. k. De acuerdo con el bosquejo de la posición y el movimiento de la partícula, debemos calcular las distancias recorridas en los intervalos de tiempo [0,1],[1,5] y [5,8]. d(1,0)=|s(1)-s(0) | |f (1) – f(0)| = |7–0| = |7| = 7 metros. d(5,1)=|s(5)-s(1) | f(5) – f(1)| = |–25–7| = |–32| = 32 metros. d(8,5)=|s(8)-s(5) |f(8) – f(5)| = |56–(–25)| = |81| = 81 metros. 158]]> f(x 2). de la pendiente (o la derivada en funciones Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta no lineales) te ayuda a Ejemplo 1. Determinemos en qué intervalos abiertos la función dada es creciente o identificar rápidamente decreciente. el comportamiento de la función sin necesidad de graficarla, solo observando el signo de la pendiente o derivada en cada intervalo.: • Si el coeficiente de x Con ayuda de una calculadora gráfica podemos obtener la gráfica de la función y (en funciones lineales) observar en qué intervalo la función crece, decrece o es constante. o la derivada de la función es positiva en Figura 3.1 un intervalo, la función 2 { 3 y -(x-1) +1 x<1 es creciente en ese f(x) = 1 1≤ x ≤ 3 intervalo. -(x-3) +1 x>3 • Si es negativa, la función 20 es decreciente. 30 Creciente f(x), g(x), h(x) 10 0 10 20 Decreciente -10 (1,1) (3,1) -20 Constante -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 x 2.5 5.0 7.5 10.0 -2 0 2 4 6 x De la gráfica mostrada en la Figura 3.1 podemos concluir que f decrece en (–`,1), es constante en (1,3) y crece en (3, `). A continuación, conoceremos varios criterios que nos facilitan la determinación de dónde una función crece o decrece y dónde presenta valores extremos. Criterios para determinar si una función es creciente decreciente Si f es una función derivable en una intervalo (a, b): Si f ´(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. Si f ´(x) < 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo. 177]]>0 crece x = 0 f´(0) = –8<0 decrece x = 3 f´(3) = 13>0 crece Figura 3.2 2 y y= (x-2) (x+3) (-1.33333, 18,51852) 20 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 (2,0) x 178 DBA 8 (Ev. 2) Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.]]>0 crece material, para predecir (-1,1) x=0 f´(0)=-3<0 decrece cómo responderá bajo diferentes fuerzas. (1,∞) x=2 f´(2)=9>0 crece De la tabla anterior concluimos que hay un máximo relativo en x=21 y un mínimo relativo en x=1, como se puede ver en la gráfica de la función mostrada en la Figura 3.3. Figura 3.3 3 y y = x +3 20 En biomecánica, en la modelación de 10 crecimiento poblacional Máximo relativo o de otros fenómenos naturales, el criterio de la (-1,2) primera derivada identifica cuándo un cambio es -2 0 2 4 x positivo o negativo. (1,-2) Mínimo relativo Criterio de la segunda derivada Criterio de concavidad Supongamos que c es un punto crítico de una Sea f una función derivable dos veces en un intervalo función f en un intervalo abierto (a, b) con c ∈ (a, b) y abierto (a, b). supongamos que f ´(c) = 0. • Si f "(x) > 0, para todo x ∈ (a, b), f es cóncava hacia • Si f "(x) < 0, f (c) es un valor máximo relativo de f. arriba en (a, b). Si f "(x)>0, f (c) es un valor mínimo relativo de f. • Si f "(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), f es cóncava hacia abajo en (a, b). 179]]> 0, se concluye que f (–3)= –17 es un mínimo relativo. cargas de mejor manera, mientras que las cóncavas Nota. El criterio de la segunda derivada no aplica en f "(0) = 0. hacia abajo pueden ser más vulnerables a Paso 3. Analizamos la concavidad. Para ello, nos apoyaremos en la siguiente tabla: deformaciones o colapsos. Intervalo Valor de prueba Signo de f"(x) Conclusión (–∞,–2) x = –4 f "(–4) = 96 > 0 Cóncava hacia arriba (–2,0) x = –1 f "(–1) = –12 < 0 Cóncava hacia abajo (0,∞) x= 1 f "(1) = 36 > 0 Cóncava hacia arriba Un punto (c, f (c)) de la Paso 4. Determinamos los puntos de inflexión. curva y = f(x) es un punto de inflexión si se cumple Hacemos f "(x) = 0 para encontrar los posibles puntos de inflexión. que f'' (c) = 0 o f ''(c) no 2 existe. f "(x) = 12x + 24x = (12x)(x + 2) = 0 de donde se concluye para x = 0 y para x = –2 f ”(x) = 0. En este caso, ambos son puntos de inflexión, como lo podemos Figura 3.4 analizar en la tabla del paso 3. y y = x +4x +10 Paso 5. Elaboramos la gráfica. 3 4 20 Aquí presentamos la gráfica de la función hecha con la calculado- (0,-10) ra gráfica Desmos (Figura 3.4). Punto de in exión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba -4 -2 0 2 Nota. Con toda la información obtenida en los cuatro x Punto de in exión primeros pasos se puede hacer un bosquejo de la (-2,-6) gráfica sin necesidad de usar la calculadora gráfica. (-3,-17) -20 Mínimo relativo 180]]>0 en un punto crítico, la 5. Determinar los intervalos donde la función crece, decrece o es constante. función tiene un mínimo local allí, ya que es cóncava 6. Determinar los valores extremos. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta hacia arriba. Si f''(x)<0, 7. Analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión. entonces tiene un máximo local, ya que es cóncava 8. Hacer el bosquejo de la gráfica. hacia abajo. Ejemplo 7. Elaboremos la gráfica de la función . Al seguir las recomendaciones anteriores tenemos: 1. Dominio: ℝ. 2. Interceptos con los ejes: a. Con el eje : x (1,5 – 10) = 0. 3 2 x = 0 y 1,5x – 10 = 0 2 3 x 1 = 0 y x = = 6,666 de donde 2 x 2 = –2,58199 x 3 = 2,58199. Los puntos de corte con el eje x son (-2.58199,0), (0,0), (2.58199,0). b. Con el eje y (x = 0): si x = 0, entonces y = 0. Punto de corte con el eje y: (0,0). 3. Simetrías: Evaluamos f (–x): , lo que nos per- mite concluir que la función es impar y, por tanto, es simétrica con respecto al ori- gen. 4. Asíntotas: no hay. 182]]> 0 (1) 2 Decreciente en donde 2 x (x – 2)(x + 2) < 0 (2). En la recta real representamos los puntos de separación –2,0,2 (números que anulan los factores en las desigualdades (1) y (2)) y tomamos puntos de prueba en los intervalos (–∞ ,–2),(–2,0),(0,2) y (2,∞) para obtener el signo de f´(x) en dichos intervalos. La solución se presenta en la gráfica de la Figura 3.5. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Figura 3.5 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0 -√2 0 √2 x Cóncava Cóncava Cóncava Cóncava hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba 6. Valores extremos: máximos y mínimos. Al aplicar el criterio de la primera derivada y con base en la gráfica anterior, concluimos que en x = -2 hay un máximo relativo y en x = 2 hay un mínimo relativo. 7. Análisis de la concavidad y puntos de inflexión: Hallamos la segunda derivada de la función. Concavidad hacia arriba en donde Concavidad hacia abajo en donde Ahora, te invitamos a solucionar las desigualdades obtenidas. Para hallar los puntos de inflexión solucionamos la ecuación f ”(x) = 0 15 4 Entonces . Evaluamos f ”(x) para estos valores: Y concluimos que los puntos de inflexión son . 183]]> 0 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0 -√2 0 √2 x Cóncava Cóncava Cóncava Cóncava hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba 8. Gráfica: La gráfica de la Figura 3.7 contiene la información general obtenida. Figura 3.7 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta f’(x) > 0 f’(x) > 0 f’(x) > 0 f’(x) > 0 -2 0 2 x Creciente Decreciente Decreciente Creciente 5 y f(x) = 1.5x -10x 3 6 R Máximo relativo (-2,4) 4 Punto de in exión (-√2, 2.58199) 2 (-0,0) Punto de in exión -8 -6 -4 -2 -√2 0 √2 2 4 x 6 -2 (-√2, -2.58199) Punto de in exión -4 Mínimo (2,-4) relativo -6 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0 f’’(x) < 0 f’’(x) > 0 -√2 0 √2 x Cóncava Cóncava Cóncava Cóncava hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba 184]]>6)=0,657 2 b. Marque al menos 6 penaltis. P(X≥6)=0,894 8 Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta 7. Resuelve los siguientes problemas; utiliza la tabla de distribución binomial. Trabajo colaborativo En un laboratorio farmacéutico se está probando Trabajen en equipos, indaguen y resuelvan. cierto antibiótico sobre una misma especie de Calculen las siguientes probabilidades de una animales. La probabilidad de que este medicamento distribución binomial; utilicen la tabla de distribución. tenga una reacción negativa es del 15 %. Si el antibiótico fue administrado a diez animales, B(9; 0,3) P(x=5)=7,35 % determina las probabilidades de que haya reacción P(X=5), P(X=7), P(X=4) P(x=7)=0,39 % P(x=4)=17,15 % negativa en los siguientes casos: B(6; 0,25) P(x=5)=0,44 % P(X=5), P(X=2), P(X=4) P(x=2)=29,66 % a. En dos animales. 27,58 % B(10; 0,40) P(x=4)=0,33 % P(X=2), P(X≤3 7), P(X≥9) P(x=2)=12,09 % P(x3)=38,23 % b. En ningún animal. 19,69 % P(x9)=0,17 % Calculen las siguientes probabilidades. c. En menos de cuatro animales. 98,45 % ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire ocho veces, se obtengan, como máximo, tres veces d. En más de tres animales. 5 % cara? P(k=3)=94,37 % Se lanza al aire un dado seis veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el uno? ¿Cuál es la e. Entre dos y cinco animales. 45,43 % probabilidad de obtener más de dos veces el uno? P(k=2)=93,77 % 8. La probabilidad de que un estudiante apruebe el P(x≥2)=26,32 % curso de francés es de 0,3. Halla la probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados Resuelvan. En una empresa de llantas para autos, se en francés: detectó que el 30 % de llantas de un gran lote son defectuosas. Si se toman tres llantas al azar, calculen: 8,2 % a. Ninguno de los siete apruebe el curso. La probabilidad de que las tres llantas sean defectuosas. P(k=3)=2,7 % b. Aprueben todos el curso de francés. 0,021% La probabilidad de que solamente dos sean defectuosas. P(k=2)=–18,9 % c. Al menos dos aprueben el curso. 35,29 % La probabilidad de que ninguna de ellas sea defectuosa. P(k=0)=3,43 % d. Halla la media y la desviación típica. 66,58 % 245]]> 30) = 50 % 7. En un cierto barrio de la ciudad, el 60 % de los hogares tienen al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 50 hogares. Se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los hogares tengan al menos dos televisores? P(X > –2,89) = 99,81 % b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan al menos dos televisores? P(35 < X ≤ 40) = 7,16 % 8. Los valores de las acciones de cierta empresa se distribuyen en forma normal con media de $20 y desviación estándar de $3. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa se encuentre entre $18 y $20? Imagina que eres el asesor financiero de una empresa y te percatas de que, por inestabilidad del mercado, existe la probabilidad de las acciones de la empresa se coticen a menor precio. ¿Qué decisión tomarías? Justifica. P(18 ≤ X ≤ 20) = 24,86 % 251]]> 2)? 57,69 % 3. Resuelve el siguiente problema. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta Un comerciante de naranjas tiene conocimiento de que el 3 % del cargamento está dañado. Si una compradora elige 100 naranjas al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 naranjas estén dañadas? 16,8 % b. ¿Cuál es la probabilidad de que de 1 a 3 naranjas estén dañadas? 59,74 % MUESTRA EDITORIAL 4. Encuentra la solución utilizando la distribución de Poisson. La probabilidad de que una flash memory dure al menos un año sin que falle es de 0,95. Calcula la probabilidad de que en una muestra de 20: a. 12 duren al menos un año. 96,53 % b. 5 duren menos de un año. 100 % c. Al menos 2 duren menos de un año. 100 % 5. Determina las siguientes probabilidades: a. Si λ = 6, ¿a qué es igual P(X = 3)? f. Si λ = 6,2, ¿a qué es igual P(X = 7)? P(X = 3) = 0,089 2 P(X = 7) = 0,141 8 b. Si λ = 2, ¿a qué es igual P(X = 1)? g. Si λ = 2,5, ¿a qué es igual P(X = 5)? P(X = 1) = 0,270 7 P(X = 5) = 0,066 8 c. Si λ = 10, ¿a qué es igual P(X = 15)? h. Si λ = 4,7, ¿a qué es igual P(X = 6)? P(X = 15) = 0,034 7 P(X = 6) = 0,136 2 d. Si λ = 4, ¿a qué es igual P(X = 4)? i. Si λ = 7, ¿a qué es igual P(X = 2)? P(X = 4) = 0,195 4 P(X = 2) = 0,022 3 e. Si λ = 2,3, ¿a qué es igual P(X = 3)? j. Si λ = 8, ¿a qué es igual P(X = 10)? P(X = 3) = 0,203 3 P(X = 10) = 0,099 3 258]]> 1)? P(X>1) = 0,959 6 e. Si λ=4,1 P(X≥10) = 0,009 6 λ=4,1, ¿a qué es igual P(X ≥ 10)? λ=5 λ=5 λ=2,2 c. Si λ=2,3 P(X>4) = 0,083 7 f. Si λ=2,2 P(X≤4) = 0,927 5 λ=2,2, ¿a qué es igual P(X ≤ 4)? λ=2,3, ¿a qué es igual P(X > 4)? λ=2,3 λ=0,9 λ=0,9 λ=0,9 11. Resuelve el siguiente problema: λ=4,1 λ=4,1 λ=4,1 En el proceso de inspección de la hojalata producida por medio de un proceso electrolítico continuo, se identifican 0,2 imperfecciones en promedio por minuto. Determina las probabilidades de identificar: λ=2,2 λ=2,2 λ=2,2 a. Una imperfección en tres minutos. P(X=1, λ=0,6)= 0,329 3 b. Al menos dos imperfecciones en cinco minutos. P(X>2, λ=1)= 0,264 2 12. La variable X sigue una distribución de Poisson con parámetro = 0,5. Halla a. P(X = 1). 30,3 % b. P(X ≤ 2). 98,56 % c. P(X > 3). 1,8 % 13. Una entidad bancaria recibe por día en promedio seis cheques sin fondo. Cuáles son las probabilidades de que reciba: a. Cinco cheques sin fondo en un día dado. 16,06 % b. Quince cheques sin fondo en cualquiera de dos días consecutivos. 7,24 % 14. El 8 % de registros contables de una empresa presentan algún problema. Si una auditora toma una muestra de 40 registros, ¿cuál es la probabilidad de que existan 5 registros con problemas? 1,14 % 260]]>0, la recta R tiene una En el análisis de la regresión, la variable x puede considerarse ordinaria, esto es, no se inclinación a la derecha; cuando trata de una variable aleatoria. Por su parte, la variable y es una variable aleatoria, y se b<0, la recta R tiene una supone que la media y depende de la variable independiente y. inclinación a la izquierda. Asociada a este conjunto Construimos una función que tiene la forma de un polinomio de grado ≤1 cuya gráfica Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta existe una función polinomial p de grado ≤1 de la forma: se identifica con la de una recta. Con mayor precisión, se considera el problema siguiente: y=p(x)=a+bx, ∀x ∊ℝ, halla un polinomio p de grado ≤1 de la forma: de modo que su grafo G(p)=R. y=p(x)=a+bx, ∀x∊ℝ, Supongamos que se dispone de la siguiente información: donde a, b∊ℝ son calculados con el denominado método de mínimos cuadrados, cuyo 2 S={(x , y) ∊ ℝ | i=1, …, n}. algoritmo se describe a continuación. i i En la Figura 4.7 se ilustra un conjunto de puntos que MUESTRA EDITORIAL 4.3 Algoritmo siguen una tendencia o apariencia de una recta, así Para calcular las constantes óptimas a, b mediante el método de mínimos cuadrados, se como la gráfica de la recta de ecuación cartesiana: requiere la siguiente información: y=a+bx, ∀x∊ℝ. 1. El número de puntos n≥2. Figura 4.7 y y=a+bx 2. El conjunto de datos S={(x , y) ∊ ℝ | i=1, …, n}. 2 i i 4.4 Aplicación del método de mínimos cuadrados 1. Calcula las siguientes sumas: 0 x n n n n S = Σ , S = Σ , R = Σ , R = Σ . 2 x i x i y i y i x i 1 i=1 2 i=1 1 i=1 2 i=1 2. Verifica z=nS –S ≠0. 2 2 1 3. Calcula la constante óptima de regresión lineal a: S R –S R a= 2 1 1 2 . nS –S 2 2 1 4. Calcula el coeficiente óptimo de regresión lineal b: nR –S R b= 2 1 2 . nS –S 2 2 1 264]]>0. 2 2 2 i=1 i=1 i i x x n–1 n n–1 Definición. La covarianza muestral se denota con cov(x, y) y se define como n ∑ (x – x)(y – y) cov(x, y) = i=1 i i . n–1 La covarianza puede ser positiva, cero o negativa. Tomando en cuenta las relaciones n n ∑ x ∑ y n i i n x = x = nx, y = y = ny, i=1 i=1 ∑ ∑ n i=1 i n i=1 i se obtiene, n n ∑(x – x)(y – y) ∑ (x y – xy – yx + xy) i=1 i i i=1 i i i i n – 1 n – 1 n n n n ∑ x y – xy – y x + xy ∑ ∑ ∑ i i=1 i i i=1 i i=1 i=1 n – 1 n n 1 n n ∑ x y – nxy ∑ x y – x y i ∑ ∑ i i i i i i=1 i=1 n i=1 i=1 n – 1 n – 1 270]]> 0. que a mayor inversión en publicidad, mayor es la facturación, lo que Calculamos el coeficiente de correlación r: ayuda a tomar decisiones estratégicas para mejorar –128,025 r = = = –0,996 2. los resultados financieros. S xy s s 99,3 × 166,325 x y Este resultado nos muestra que las dos variables están fuertemente correlacionadas. Para una deformación x = 20 mm, se obtiene: kg y = 66,4226 6 – 1,289 3 × 20 = 40,636 6 . mm 2 273]]>0, r=1. a. Obtén la recta de regresión de Y sobre X. x 0,5 1,0 2,1 2,6 3,0 y = f(x): y = –1,167x + 8,5 b. y=f(x)=2,8+1,65x, ∀x>0, r=1. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta x 1,5 3,0 4,1 4,6 5,0 5,2 y = f(x): b. Calcula el coeficiente de correlación elevado al cuadrado. c. y=f(x)=70,3+3,45x, ∀x>0, r=1. x 2,5 6,0 10,4 16,0 20,6 28,0 y = f(x): MUESTRA EDITORIAL r2 = 0,68 4. En una muestra de 1500 individuos se recogen datos sobre dos medidas X e Y. Los resultados que se obtienen son: x=14, y=100, s =1, s =25, s =45 c. Si el modelo es adecuado, ¿cuál es la predicción x y xy para un valor de x=4? a. Obtén el modelo de regresión lineal que mejor aproxima Y en función de X. y = 3,83 y = 11,25x – 57,50 d. Obtén la recta de regresión de X sobre Y. b. Utilizando este modelo, calcula la cantidad Y esperada cuando X=15. x = –0,583y + 5,915 y = 111,25 275]]>0. Comparen su resultado con el dado por el otro estudio. e. Calculen el coeficiente de correlación r. Actividad indagatoria Objetivo: Determinar cómo se relacionan la densidad del suelo y el contenido de hierro utilizando herramientas de estadística descriptiva y regresión lineal.________________________________________ Pasos de la actividad: a. Contexto inicial: • En pequeños grupos, lean el problema y discutan qué factores podrían influir en la densidad y el contenido de hierro en la zona de un volcán. Representación en coordenadas rect- • Formulen una hipótesis sobre la relación entre d (densidad) y C (contenido de hierro). angulares ={(3.4,30),(3.2,34),(3.5,32),(3.6 ,31),(3.3,33),(3.7,35),(3.1,29),(3.8,36),(3.2, Ejemplo: "Creemos que a mayor densidad, el contenido de hierro aumenta." 30),(3.4,34)} b. Organización de datos: • Representen gráficamente los datos en un sistema de coordenadas rectangulares (d, C). • Reflexionen: ¿Parece haber una relación lineal entre las variables? Media aritmética d y C. La media aritmética para (d y C ) se calcula como: d= ~∑d , C= ∑c donde n es el número de puntos (n=10). c. Cálculos básicos: n n • Calcule cada grupo la media aritmética (d y C ) y analicen qué significan estos valores en el contexto del problema. • Estimen la dispersión de d y la covarianza S . Dispersión S y covarianza S La dispersión S se calcula como: S 2 ∑(d–d) 2 2 dc d dc. d d n–1 d. Análisis del modelo de regresión: LaispersiónS se calcula como: S 2 ∑(d–d) (c–c) 2 2 d d n–1 • Utilicen los cálculos de dispersión y covarianza para obtener la ecuación de la recta de regresiónC=b +b d. 0 1 • Comparen su ecuación con la del otro estudio (C=−7.85+11.095d). Reflexionen sobre posibles causas de diferencias entre los resultados. La ecuación de la recta es: C=b +b d s 0 1 donde: b = dc 1 ,= b =C–b d para la ecuación obtenida con la dada en el otro estudio: e. Coeficiente de correlación: 1 s d 0 1 C=−7.85+11.095d, d>0. • Calculen r y discutan qué tan fuerte es la relación entre d y C. s El coeficiente de correlación se calcula como:R= dc 2 2 Reflexionen: ¿El valor de r confirma su hipótesis inicial? donde S es la dispersión de C. √s s c 2 d C 277 LA GRAFICA DE LA RESPUESTA a. NO ENTRA EN EL ESPACIO ASIGNADO, SE DEBE PASAR LA PREGUNTA 9 A LA PÁGINA ANTERIOR.]]> –0,2]. MUESTRA EDITORIAL b. 10 %. 0,5793 c. 15 %. b. P [Z > 1 ,27]. d. 15,5 %. 0,102 7. Completa la tabla. Con estos datos, aplica el método c. P [– 0,52 < Z < 1,03]. de mínimos cuadrados, calcula las constantes óptimas a, b y obtén nuevamente la función f que se 0,547 define. Representa el conjunto de puntos y la función f. d. P [Z < 0,25]. y=f(x)=50–1,4(x–2), ∀x ∊ℝ. 0,5987 2,5 6,0 10,4 16,0 20,6 28,0 4. Para preparar un pastel para un matrimonio, el x tiempo empleado en horas sigue una distribución normal N(8, 2). ¿Cuál es la probabilidad de que se y = f(x) 49.3 44.4 38.24 30.4 23.96 13.6 tarde el panadero en prepararlo? a. Menos de 6 horas. 0,1587 b. Entre 4 y 6 horas. 0,0441 280]]>0. A(t)=s+k(t–90), ∀t≥90, siendo s el área inicial, siendo k una constante relacionada con la rapidez de crecimiento de la ciudad, y siendo t≥90 el tiempo x –2,5 0,0 2,4 4,6 8,0 contado en años. Muestra editorial solo para fines didácticos – Prohibida su venta y = f(x) -0.0235 -0.241 -0.4498 -0.6412 -0.937 a. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente este conjunto de datos. ¿Tiene la tendencia de una recta? Explica. a. r = –1. a) C. r = 0,5. b. r = 1. d. r = 0. 19 y MUESTRA EDITORIAL 10. Pinta según la clave. Clave Distingo entre un experimento de Bernoulli y uno de distribución binomial. Autoevaluación Utilizo la distribución de Poisson para resolver problemas. Puedo ayudar a otros. Realizo diagramas de dispersión y dibujo la recta de mejor ajuste. Resuelvo por mí mismo. Calculo e interpreto el coeficiente de correlación. Coevaluación Trabajamos en equipo y todos aportamos para la solución de problemas. ¡Necesito ayuda! La participación grupal nos permite conocernos y valorarnos con nuestras Estoy en virtudes y fortalezas. proceso. Metacognición ¿En esta unidad, cuál es el tema que más recuerdas? ¿De qué manera se utilizan los temas de esta unidad en otras áreas? 281]]>