3 −2 1 ⎞ 2 3 ÷ ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ 81 2 2 1 8 b) 7x +> − x 3 4 88 x > 87     , b) 0260 3, ( , − 013 ) ≈−85 10 −3 1 5 2 ,. c) <− x −< x + 4 3 6 3 7 − / <29 10 x <− 6 2. Halla la solución de las siguientes ecuaciones. x + 2 a) 3− = 53 − ( 2) x 4. Identifica los cortes con los ejes horizontal y vertical 5 de las siguientes rectas. 67 x = 76 a) y = x + 9 3 0,3) ( ;( −13 0) /, b) x +=3 y 6 b) 3( − 4)x + 10 13− x = 0,6) ( ;( ,) 20 15 =x 4 c) y = 1 + x 5 2 0,5) ( ;( −110 0,) 2 x (( − 5) 5. Aplica el método gráfico y determina el conjunto c) +=45x −2 solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales. 3 y 8 ⎧ 5x += 7 (1, 2) x = ⎨ 13 2x + 3y = 8 ⎩ 8 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 8 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 8]]> 2 b) ¿Cuál es el valor que se pagará por el uso de la cancha por 3 horas? Los costos de alquiler de Pienso y progreso las canchas de fútbol varían según el tiempo de uso. ¿En qué otra actividad se podría obtener una función de este tipo? U nidad de conocimientos y Función afín a trozos 10 8 6 Una función afín a trozos está definida por diferentes funciones afines en distintos 4 intervalos de su dominio. 2 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 x –2 –4 ⎧ Función afín 1 si x está en el intervalo 1 –6 ⎪ –8 x fx () = Función afín 2 si está en el intervalo 2 ⎨ ⎪ x Función afín a trozos ⎩ Función afín 3 si está en ell intervalo 3 y Función raíz cuadrada 4 3 2 Es una función real f, cuyos conjuntos de partida y llegada son los números reales y = x 1 x 0 ; –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x positivos. Se define como fx () = x ∀ ∈[ ; ∞) –1 Función valor absoluto Función raíz cuadrada La función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica y 5 dentro de los símbolos de valor absoluto. Se define como: 4 3 2  x, si x ≥ 0 1 fx () = x =  –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x  − x, si x < 0 –1 Función valor absoluto A cción y expresión Ejemplos paso a paso 2 0 t <≤1 1. Respondamos las preguntas Ct() = 15 t , +2 1 t < ≤ 2 del ejercicio inicial. 5 +( t − ) 2 t > 2 Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones 12 Matemática reales (función a trozos, función raíz cuadrada, función valor absoluto) utilizando TIC. Ref. M.5.1.20 2.º BG 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 12 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 12]]> 6 x −1 3 < x ≤ 5 2 fx() = a) f(2) = 0 c) f(5) = 2 3 x − 4 5 < x ≤ 8 −5 x > 8 b) f(3) = 11 d) f(8) = 26 _________________________________________________ a, c, d a) f(1) 3 4. Selecciona la función que corresponde a la siguiente b) f(3) 3 gráfica. c) f(4) 7 y d) f(6) 14 y = 2 e) f(7) –5 y = 1 y = 1 f) f(8) 20 y = 0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x g) f(12) –5 y = –1 2 1 f(x) = |5x + 1| x < –2 a) f(–3) 14 b) f(0) 1 X c) f(2) 11 x > 4 d) f(3) 16 e) f(–2) 9 1 2 x < –2 f) f(4) 21 g) f(–1) 4 14 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 14 Matematica 2 BG Cultiva.indb 14 30/7/25 10:09]]> 4 Dominio: 2[; ∞) Recorrido: 0[; ∞) 5. Grafica en un software la siguiente función. b) fx () = x + 3 1 ⎡ 1 ⎞ Determina su dominio, recorrido y monotonía. Dominnio: − ⎢ ⎣ 3 ∞ ; ⎟ ⎠ fx () = x + 4 Dominnio: − ⎡ 1 ∞ ; ⎞ ⎟ Recorrido: 0[; ∞) ⎢ ⎣ 3 ⎠ ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción Recorrido: 0[; ∞) [ [ ; 4 Dom fx()] =− ∞) c) () =fx − 4x 2 [ Rec fx()] =[0 ;∞) f(x) es estrictamente creciente en el intervalo. Dominio: −∞∞∞[ ] ; [ 4; Recorrido: [; 0 ∞) −∞) Necesidades educativas 6. Selecciona la gráfica que corresponde a la función: Cuando una persona tiene dificultades o problemas de gx () = x +2 motricidad, es importante tener en cuenta que los desplazamientos y ritmos no siempre se ajustarán a los de los demás. a) y 8 7 6 Actividad cooperativa 5 4 En parejas resuelvan el siguiente ejercicio: 3 2 8. Grafiquen la siguiente función a trozos. Determinen 1 su dominio, recorrido y monotonía. –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 7 x x –1 b) y 8 x x 7 6 Dominio [-3; 5) 5 4 Recorrido: [-1; 4] 3 Creciente [-3; 0) 2 Constante [0; 3) 1 Decreciente [3; 5) –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x –1 c) y 8 7 6 5 Indaguemos 4 3 9. Investiga sobre el costo de alguna tarifa de servicio diferenciado y elabora una función a trozos. 2 1 Grafica esta función; luego, efectúa las operaciones –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x –1 para obtener el dominio, recorrido y monotonía. Matemática 15 2.º BG 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 15 30/7/25 10:09 Matematica 2 BG Cultiva.indb 15]]> 220 Valor ($) 10 10 15 20 Para el plan Premium: d) Si una familia compuesta por 4 miembros, y cada P(x) = 25 uno mira 20 horas de contenido, ¿cuánto pagará en el plan básico? c) Observa la gráfica y completa la tabla. B(80) = 10 + 0,5(80 – 20) = 40 dólares 3. Toma decisiones. Propón estrategias Propón estrategias para seleccionar el mejor plan. a) ¿Para qué valores de x el plan Básico es más barato b) ¿Qué plan elegirías y por qué? que el Premium? Respuesta abierta El plan Básico conviene para menos de 50 horas de contenido. 26 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 26 Matematica 2 BG Cultiva.indb 26 30/7/25 10:10]]>100 Tiempo (h) 50 100 120 300 Valor ($) 15 15 20 50 Para el plan B: B(x) = 30 d) ¿Cuál es el valor del servicio por usar 3 horas de lí- nea telefónica en el plan A? __________________________________________________ A(120) = 15 + 0,2(180 – 100) = 55 dólares 3. Toma decisiones. Propón estrategias a) ¿Para qué valores de x el A es más barato que el B? b) ¿Qué plan elegirías y por qué? El plan A conviene para menos de 200 minutos __________________________________________________ __________________________________________________ Respuesta abierta __________________________________________________ __________________________________________________ de llamadas. Matemática 27 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 27 Matematica 2 BG Cultiva.indb 27 30/7/25 10:10]]> 20 donde x es el peso del paquete en kilogramos, y f(x) Sobreyectiva es el costo total en dólares. Contesta la rutina de pensamiento Veo Observa la función y su comportamiento. b) f(m) = 10, f(n) = 20, f(o) = 20, f(n) = 10 ¿Qué notas sobre cómo cambia el precio? ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción No es función. _____________________________________________________ Respuesta abierta ¿Hay algún punto donde el comportamiento de la función cambia? _____________________________________________________ Respuesta abierta 8. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones. ¿Qué pasaría si el paquete pesa 3,5 kg?, ¿y si pesa justo a) Cuando Rec(f) es igual al conjunto 2 kg? de llegada, se puede afirmar que es V _____________________________________________________ Respuesta abierta una función sobreyectiva. b) Si una función es tan solo inyectiva, Pienso también se puede afirmar que la F ¿Por qué hay una tarifa fija y luego un cobro adicional? función es biyectiva. Respuesta abierta c) Si una función es tan solo sobreyec- _____________________________________________________ tiva, también se puede afirmar que F la función es biyectiva. Me pregunto ¿Qué pasaría si la tarifa base aumentara a $12? Coevaluación Respuesta abierta Trabajen en equipo la rutina de pensamiento _____________________________________________________ Veo – pienso – me pregunto. ¿Y si el precio por kilo extra cambiara? 9. Una empresa de mensajería cobra por sus envíos, _____________________________________________________ Respuesta abierta según la siguiente regla: a) Por los primeros 2 kg, cobra una tarifa fija de $10. ¿Podrías modelar otra situación similar con una función a trozos (por ejemplo, una tarifa de taxi)? b) Por cada kilogramo adicional, cobra $5 extra. ta espuesta abier R _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. ¿Qué estrategias utilicé para entender las funciones vistas en esta unidad y cuáles me resultaron más útiles? ¿Cómo puedo identificar el dominio de las operaciones con funciones de suma, resta, multiplicación, división o composición? ¿Qué estrategias me ayudan a comprobar si una función es sobreyectiva, inyectiva o biyectiva? ¿En qué situaciones reales puedo emplear funciones por partes? ¿Qué pasos debo seguir para encontrar la función inversa, y en qué debo tener especial cuidado? Matemática 37 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 37 Matematica 2 BG Cultiva.indb 37 30/7/25 10:10]]> 0 calculen los valores de f (x) que se plantean a continuación. y 4 f (1), f (3), f (5) A = (–2, 2) 2 G = (2, 2) 7 23 f ( ) =5 3 B = (–3, 0.75) H = (3, 0.75) f () =–1 1,f ( ) =–3 – ,– – 5 –6 –4 –2 0 2 4 6 x e) Con los datos obtenidos en los incisos anterio- x = –1 –2 x = 1 res, grafiquen en su cuaderno la función. –4 Indaguemos –6 E = (0, –6) 6. Investiga sobre la hipérbola, su ecuación y gráfica. ¿Cuántas y qué tipo de asíntotas tiene? Haz un D = (–0.5,–8 ) –8 F = (0.5,–8 ) collage con aplicaciones de esta curva. Respuesta abierta Matemática 47 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 47 Matematica 2 BG Cultiva.indb 47 30/7/25 10:10]]> 3 calcula los valores de f (x) que se b) ¿Cuál es el rango o recorrido de la función? plantean a continuación. _____________________________________________ Rec(f) = ℝ –{0} f(4), f(5), f(7) c) ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas ver- ticales? 5 9 10 f f () =4 ,5 () = () = ,7f _____________________________________________ 3 7 9 x = –1; x = 2 d) ¿Existe asíntota horizontal?, ¿cuál es su ecua- ción? f) Con los datos obtenidos en los incisos anterio- _____________________________________________ res, grafica la función. Si existe, y = 0 e) ¿Tiene una asíntota oblicua? y No tiene 8 _____________________________________________ (–2)(x x +1) 2. Sea: () =fx 6 x x 2 –– 6 x = –2 x = 3 4 a) Halla el Dom(f). A = (–3, 1,67) 2 G = (4, 1,67) C = (–8, 1,06) H = (5, 1,29) B = (–6, 1,11) E = (0, 033) F = (2, 0) I = (7, 1,11) Dom(f) = ℝ –{–2, 3} x –6 –4 –2 0 2 4 6 D = (– 1, 0) –2 b) Halla las asíntotas. –4 Asíntota vertical 1 x = –2 1 Asíntota vertical 2 x = 3 –6 2 Asíntota horizontal y = 1 64 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 64 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 64]]> a En donde: n + 1 n Sucesión decreciente i: índice de la suma (variable que toma valores enteros desde m hasta n). Si a ≤ a n + 1 n m: límite inferior (valor inicial del índice). Sucesión estrictamente decreciente n: límite superior (valor final del índice). Si a < a a: término general de la suma (expresión que depende del índice i). n + 1 n i M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a 68 Matemática partir de las fórmulas que las definen. 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 68 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 68]]> a V n n a = 3; a = 9; a = 15 2 1 3 5 e) ∑ 12 V = k= 1 2. Determina si las siguientes series son crecientes ⎧ –2 ⎫ 2 + k o decrecientes. c) a k =⎨ ⎬ ,.k ∈  . ⎭ ⎩ k a) 2, 5, 8, 11 Calcula los términos 2, 4 y 6. Creciente _____________________________________________ a = =0;.a 1 ;.a = 4 4 2 4 6 9 b) –3, –5, –7, –9 Decreciente _____________________________________________ 8–k + d) a k = ,.k ∈  . 1 13 8 19 k c) , , , Calcula los términos 1, 4, 8. 3 30 15 30 _____________________________________________ a = 2, 65; a = 1; a = 0 Creciente 1 4 8 1 1 1 1 d) , , , 2 3 4 5 Decreciente _____________________________________________ e) a = k 5–3 ,. k ∈  + . k k 2 2 1 1 1 Calcula los términos 1, 3, 10. e) − , − , , 5 10 5 2 a = 2; a = 4; a = 4,7 _____________________________________________ 1 3 10 Creciente 1 2 3 1 f) − , − , − , − 10 25 50 25 4. Indica en qué término se dan los resultados pro- Creciente _____________________________________________ puestos en cada inciso de la siguiente sucesión (a ): k a = 3k + 2; k∊ℕ. k 13 2 7 4 g) − − , − , , − a) a = 11 15 3 15 15 k _____________________________________________ a(3) = 11 Creciente 70 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 70 Matematica 2 BG Cultiva.indb 70 30/7/25 10:10]]> 1, la progresión es creciente; y decreciente cuando 0 < r < 1. saludables y afrontar imprevistos como Término n-ésimo enfermedades o emergencias. El término n-ésimo o término general a de una progresión geométrica se calcula n mediante la expresión: a = a r ⋅ n−1 n 1 Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. ©Shutterstock La suma de los n términos de una progresión geométrica es: S = a + a + … + a + a 1 2 n n ar a r − 1 n – 2 n − n – 1 S = a 1 ; S = 1 n n r −1 r −1 Interpolación de medios geométricos Averigua a tus padres si La interpolación de medios geométricos consiste en insertar un número determi- tienen un plan de medicina nado de términos entre dos números dados, de modo que todos ellos formen una prepagada o algún seguro progresión geométrica. médico. M.5.1.55. Aplicar los conocimientos sobre progresiones geométricas, sumas parciales finitas de sucesiones 78 Matemática numéricas para resolver aplicaciones, en general y de manera especial en el ámbito financiero, de las sucesiones 2.º BG numéricas reales. 30/7/25 10:10 Matematica 2 BG Cultiva.indb 78 Matematica 2 BG Cultiva.indb 78 30/7/25 10:10]]> 0 el radio. Entonces, por definición de la circunfe- 2 cónicas, data del siglo IV rencia tenemos que la distancia del centro C al punto P, –4 –2 0 2 4 6 x a.C., gracias al matemático es igual al radio: –2 griego Menecmo, quien 2 2 ) ) − − estudió las propiedades CP = ( xh +( yk = r –4 de las cónicas a partir de ( xh +( yk = r 2 –6 2 2 − ) − ) su generación en el espacio como la Esta es la ecuación cartesiana o forma ordinaria de la circunferencia con centro C(h, k). intersección de un cono circular recto con un Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación se reduce a: plano. x + y = r 2 2 2 Las cónicas surgen a partir de la generación en el Ecuación general de la circunferencia espacio como la intersección de un cono Desarrollemos la ecuación cartesiana: circular recto con un (xh + (yk = r 2 2 2 ) ) − − plano variablemente 2 2 2 2 2 + + inclinado con el eje del x −2 xhh + y −2 ykk = r cono. x + y −2 xh−2 yk h + k −r = 0 2 2 2 2 2 r + Responde: ¿qué es una sección cónica? Llamemos: A D = –2h; E = –2k; F = h + k – r 2 2 2 plano Entonces, tenemos la ecuación general de la circunferencia. 2 x + y + Dx + Ey + F = 0. 2 eje De esta ecuación tenemos que, O D E 1 2 2 h =− ; k =− ; r = D + E − 4 F Circunferencia 2 2 2 M.5.2.17. Escribir y reconocer las ecuaciones cartesianas de la circunferencia, con centro en el origen y con centro 156 Matemática fuera del origen para resolver y plantear problemas (por ejemplo, en física: órbitas planetarias, tiro parabólico, etc.), 2.º BG identificando la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. (desagregada) 30/7/25 10:11 Matematica 2 BG Cultiva.indb 156 30/7/25 10:11 Matematica 2 BG Cultiva.indb 156]]> 0, la parábola se abre hacia la derecha y puesto que el vértice está 5 fuera del origen, la forma de la ecuación es: 4 3 (y – k) = 4p (x – h) 2 V(3, 2) F(5, 2) 2 1 Paso 3. Sustituimos las coordenadas del vértice y el valor de p en la ecuación. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x –1 –2 (y – 2) = 4(2) (x – 3); (y – 2) = 8(x – 3) –3 2 2 –4 Matemática 161 2.º BG 30/7/25 10:11 Matematica 2 BG Cultiva.indb 161 30/7/25 10:11 Matematica 2 BG Cultiva.indb 161]]> 3] = 45 % _____________________________________________ Al trabajar en equipo, con compañeros con necesidades educativas especiales, es bueno utilizar música para h) Encuentra la probabilidad de que en el aula crear un ambiente tranquilo y relajado. haya uno o dos estudiantes varones. Actividad cooperativa _____________________________________________ p[1 ≤ X ≤ 2] = 35 % 5. En parejas resuelvan el siguiente ejercicio: i) Expresa la función de distribución. Se desea hacer un estudio para conocer el peso de 0 si x < 0, los animales de una granja. Se conoce que los ani- 0,05 si 0 ≤ x < 1, males pesan entre 100 y 104 kilos. ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción 0,20 si 1 ≤ x < 2, F(x) = 0,40 si 2 ≤ x < 3, a) Definan la variable aleatoria. 0,55 si 3 ≤ x < 4, 0,80 si 4 ≤ x < 5, _____________________________________________ X = Peso de los animales de una granja 1 si x ≥ 5 b) Completen la información de la tabla. j) Grafica la función de distribución. x 100 101 102 103 104 i 1 P[X = x] 0,4 0,10 0,10 0,20 0,20 0,8 i 0,6 c) Hallen la probabilidad de que pesen entre 100 0,4 y 102 kilos. 0,2 _____________________________________________ 60 % 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 d) Obtengan la probabilidad de que pesen 103 kilos o más. 4. Se desea conocer la edad de los trabajadores de 40 % una oficina. Se conoce que las edades de los traba- _____________________________________________ jadores son 27, 28, 29, 30, 31 y 32 años. e) Encuentren la probabilidad de que pesen a) Completa la información de la tabla. menos de 101 kilos. _____________________________________________ 40 % x 27 28 29 30 31 32 i P[X = x] 0,3 0,10 0,10 0,20 0,15 0,15 f) Calculen la probabilidad de que pesen más de i 101 kilos. b) Calcula la probabilidad de que tengan menos _____________________________________________ 50 % de 27 años. p[X < 27] = 0 % _____________________________________________ g) Grafiquen la función de distribución. 1 c) Determina la probabilidad de que tengan entre 27 y 29 años. 0,8 0,6 _____________________________________________ p[27 ≤ X ≤ 29] = 50 % 0,4 d) Encuentra la probabilidad de que tengan 30 0,2 años o más. 0 100 101 102 103 104 105 _____________________________________________ p[X ≥ 30] = 50 % Indaguemos e) Halla la probabilidad de que sean menores de 6. Investiga acerca de las aplicaciones de las variables 28 años. aleatorias discretas en las diferentes actividades co- [ X p < 28] = 30 % _____________________________________________ tidianas. Elabora un collage y comparte en tu aula. Matemática 181 2.º BG 30/7/25 10:11 Matematica 2 BG Cultiva.indb 181 Matematica 2 BG Cultiva.indb 181 30/7/25 10:11]]> 2) 0,5 F(x) = ____, si 1 ≤ x < 2, 0,6 ____, si _________, e) Halla P(X ≥ 3) 2 ≤ x < 3 0,8 ____, si _________ 0,6 x ≥ 3 1,0 d) Determina la probabilidad de que el número f) Halla P(3 < X < 5) de crías sea menor o igual a 2. 0,2 80 % g) Halla P(2 ≤ X < 4) e) Halla la probabilidad para que haya de 1 a 3 0,4 crías. 3. Selecciona la respuesta correcta en cada caso. 80 % A) Entre dos tablas de frecuencias, se concluye que f) ¿Cuál es la probabilidad de que se den más de una está mejor organizada que la otra cuando: 3 crías? a) Tiene mayor desviación estándar. 0 % b) Tiene mayor media. 2. Una distribución de probabilidad de una variable c) Tiene menor varianza. aleatoria discreta X está determinada por la siguiente tabla: d) Tiene menor media. B) Para calcular la desviación estándar se debe: x 1 2 3 4 5 i a) Sacar la raíz cuadrada de la varianza. p i 0,1 0,3 0,2 0,3 b) Sacar la raíz cuadrada de la media. 198 Matemática 2.º BG 30/7/25 10:12 Matematica 2 BG Cultiva.indb 198 30/7/25 10:12 Matematica 2 BG Cultiva.indb 198]]>