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<Search><pages Count="34"><page Index="1"><![CDATA[9




                                                                                                                            EGB
                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                          9     EGB
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                             Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                            Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                              Geometría y medida (I)








                      La geometría es esencial en la comprensión de la naturaleza y en la descripción de los patrones
                      y estructuras que encontramos allí; así como también es fundamental en nuestra vida cotidiana. Desde
                      la arquitectura y la ingeniería hasta la moda y el diseño, las figuras geométricas influyen en la forma
                      en cómo percibimos y apreciamos el mundo. El conocimiento de la geometría y de las figuras geomé-
                      tricas, el cálculo de áreas y de sólidos geométricos es esencial para resolver problemas prácticos,
                      diseñar objetos funcionales y apreciar la belleza natural.

                      Observa y recuerda

                      •  ¿Qué relación tiene la fotografía con el tema general de esta unidad?

                      •  ¿Qué figura geométrica se observa en la imagen?




















































               156   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   156
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   156                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="3"><![CDATA[©Shutterstock

















                                                                                                   Los panales de abeja
                                                                                                   son un ejemplo fascinante
                                                                                                   de cómo la geometría
                                                                                                   se manifiesta en la
                                                                                                   naturaleza de una manera
                                                                                                   eficiente y funcional.







































                  ¿Qué aprenderemos?
                                                         Geometría y medida (I)



                        Teorema de Pitágoras              Polígonos clasificación            Sólidos geométricos

                              Cálculo                 Polígonos           Perímetro             Clasfi cación,
                               de sus                  regulares          y área de              elementos
                             elementos               e irregulares       polígonos             y construcción



                                                                                                      Matemática  157
                                                                                                          9.º EGB





         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   157                                                                        22/11/24   14:49
                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   157]]></page><page Index="4"><![CDATA[©Shutterstock
                                                                               —¡Me limpias todo, Pitágoras!










                                    1. En esta unidad
                                    comenzaremos
                                    conociendo el famoso
                                     teorema de Pitágoras.






                                                                             Cuando conoces bien
                                                                             Cuando conoces bien
                                                                           el teorema de Pitágoras…                 ©Shutterstock
                                                                           el teorema de Pitágoras…











                                           2. Conoceremos
               ©Freepik                   unos son regulares
                                           varios polígonos,


                                          y otros irregulares,
                                          ahora los
                                                                              Y sabes cómo usarlo.
                                                                              Y sabes cómo usarlo.
                                         llamaremos por
                                         su nombre.



                  Cuando te cuentan que hay polígonos               —Es muy importante
                    de 1 000 lados y se puede calcular              saber geometría. ¡Mi        —¡Pancho, tu papá
                                   su área.                         papá fue multado por no    se pasó una señal
                                                                     reconocer un octógono!    de ‘PARE’!




               ©Shutterstock                                                                                        ©Shutterstock



                    ©Shutterstock








               158   Matemática
               158
                     9.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   158                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   158]]></page><page Index="5"><![CDATA[3. Al encontrarnos con el fascinante mundo
                                            de los polígonos regulares, lograremos
                                            calcular sus perímetros y áreas.


                                                  —¡Me dijiste que sabías          —Sí, pero de polígonos de tiro.
                                                        de polígonos!









                   ©Freepik                                                                                           https://www.narcity.com/ottawa/sad-white-cat-meme-is-way-more-canadian-than-you-think







                                                                                     Pirámides de antes





                                            4. Finalmente, podremos
                                            reconocer los sólidos
                                           geométricos en los
                                           paisajes y en el entorno.


                                                                                                                       ©Shutterstock

                                                                                 Pirámides ﬁnancieras de hoy
                                                                                                        Vivaracho

                                                                                                         ¿Quieres ser
                                                                                                          tu propio
                                                                            Ingenuos                        jefe?









                                                        Calculando volumen

                                    En el colegio…                                  En la universidad…
                  ©Shutterstock













                                                                                                                 159
                                                                                                      Matemática  159
                                                                                                          9.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   159                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   159]]></page><page Index="6"><![CDATA[Teorema de Pitágoras







               DUA. Representación

                                         Un edificio tiene una ventana, a 4 m de altura, que requiere ser limpiada. Para ello, se
                                         debe colocar una escalera asentada a 3  m de la pared. ¿Cuántos metros deberá
                                Ventana que  medir la escalera?
                                deseamos
                                limpiar
                                         Para resolver esta situación, primero analicemos el gráfico. Como este esquema for-
                        4 m              ma un triángulo rectángulo, podemos demostrar lo siguiente:
                           Pared  Escalera


                                                                      c = 5
                             3 m
                            Vereda                 b = 4  A                  Entonces, el cuadrado de a (a ) más el cua-
                                                                                                       2
                                                                 c 2
                                                                             drado de b (b ) es igual al cuadrado c (c ).
                                                                                                               2
                                                                                         2
                                                 b 2
                                                         4
                                                           5
                                                                             Al comprobar, tenemos que:
                                                            3
                                                                                            2
                                                                                                2
                                                       C        B                          a  + b  = c 2
                        Digital                                                             2   2   2
                                                            a 2                            3  + 4  = 5
                                                                                           9 + 16 = 25
                          Observa otra                      a = 3
                      demostración del
                   teorema de Pitágoras
                      en el enlace web:
                        lynk.ec/9mt24     El teorema de Pitágoras es una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.
                                          En un triángulo rectángulo se pueden identificar diferentes elementos:
                                          Catetos: lados que forman el ángulo recto.
                                          Hipotenusa: lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.
                                          Ángulo recto: ángulo de 90° que forman los dos catetos.
                                          El teorema de Pitágoras enuncia que: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
                                          los cuadrados de los catetos.

                                         Partimos de la fórmula: a  + b  = c  para determinar una expresión que permita
                                                                    2
                                                                2
                                                                         2
                         Matemática      calcular los catetos y la hipotenusa:
                                                a : cateto 1          b : cateto 2         c : hipotenusa
                  En la mayoría de casos,
                 aunque los catetos sean         a =  c − b 2         b =  c − a 2          c =  a + b 2
                                                                                                  2
                                                       2
                                                                            2
                     números naturales,
                  1, 2, ..., la hipotenusa es                                                A
                 un número con infinitas
                       cifras decimales.   Para el caso de problema inicial, como queremos
                Prueba esta aseveración,   encontrar la hipotenusa, aplicamos la fórmula:
                  cuando los catetos son
                 1 y 2 unidades, ¿cuánto                                               b = 4 m         c = ?
                                               2
                     vale la hipotenusa?  c =  a + b 2

                                               2
                                                   2
                                         c =  3 + 4 =   916 =    25 =  5
                                                         +
                                         La escalera deberá medir 5 m.                      C                B
                                                                                                 a = 3 m



               160   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   160                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   160]]></page><page Index="7"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos:                                                                             Matemática
                  a)  ¿Cuál es la medida del cateto a del triángulo rectángulo?
                                                                                                 Existen tríos de números
                  Solución
                                                                  A                              especiales, llamados
                  Como necesitamos la medida del cateto,                                         ternas pitagóricas, que
                                                                                                 verifican el teorema de
                                               2
                                           2
                  aplicamos la fórmula  a =  c − b .
                                                                              c = 10 m           Pitágoras con números
                         2
                   a =  10 − 6 2                              b = 6 m                            naturales. Por ejemplo:
                                                                                                 3, 4, 5, ya que
                                                                                                     2
                                                                                                  2
                   a =  100 36 =  64 = 8  m                      C   90º                   B     3  + 4  = 5 2
                           −
                                                                         a = ?                   También son ternas
                                                                                                 pitagóricas sus múltiplos:
                  b)  Calcula cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto    6, 8, 10 y 9, 12, 15.
                     a mide 36 cm y cuyo cateto b mide 48 cm.
                                                                                                 Imagina que tienes una
                  Solución                                                                       escalera en tu casa y que
                                                                                                 está reclinada en la pared.
                        2
                   c =  a + b 2                                                                  ¿Cuál sería la hipotenusa?

                  Obtenemos la raíz de 3 600 mediante la descomposición de factores primos.

                       3 600        2
                                        2 2
                          1 800        2                                                               Digital
                             900        2            223 5 =       4 ×  4 ×  9 ×  25 =
                                                      2
                                                         2
                                                              2
                                                            2
                                                          ⋅
                                                             ⋅
                                                       ⋅
                                        2 2                                                      Ingresa al siguiente
                             450        2          223 560                                       enlace web:
                                                     ××
                                                          ×=
                             225        3                                                        lynk.ec/9mt25
                                        3 2        La hipotenusa del triángulo mide 60 cm.       Imprime el documento
                               75        3                                                       y refuerza tu conocimiento.
                               25        5
                                        5 2
                                 5        5
                                 1
                  c)  ¿Cuál es la medida de la altura del triángulo equi-
                     látero de la figura?
                  Solución
                  Trazamos la altura del triángulo y obtenemos dos                           ©Shutterstock
                  triángulos rectángulos, luego determinamos el valor
                  de uno de los catetos por el teorema de Pitágoras.                                  Ética e integridad


                                  2
                        2
                            2
                  b =  c − a =   5 − 2,5 2                                                       Trata a tus compañeros,
                                                                                                 profesores y demás
                          −
                  b  =  25 6,25                          5 m           5 m                       miembros de tu
                  b  =  18,75 =  4,33 c m                         b                              comunidad educativa con
                                                                                                 dignidad y consideración.
                                                                                                 Sé respetuoso de sus
                                                                                                 opiniones y derechos.
                                                                5 m

                                                                                                      Matemática  161
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   161
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   161                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





                 1.  Responde V (verdadero) o F (falso) junto a cada   4.  Observa el gráfico y completa la tabla con las
                    proposición.                                      medidas del triángulo.
                    a)  El teorema de Pitágoras se aplica en todo
                        tipo de triángulos. _____________________
                    b)  Para hallar la hipotenusa, dentro de la raíz                           Cateto 1
                        va la suma. ___________________________                               (Cateto 1) 2
                    c)  Los catetos siempre forman un ángulo recto                 10          Cateto 2
                        entre ellos. ___________________________    8                         (Cateto 2) 2
                    d)  Al obtener la raíz cuadrada, siempre resulta                         Hipotenusa
                        un número entero.  ____________________                              Hipotenusa 2
                                                                               6
                    e)  Para hallar un cateto, dentro de la raíz va
                        la resta.  _____________________________
                                                                   5.  Completa las siguientes afirmaciones.
                    f)  Si los ángulos agudos de un triángulo son
                        30° y 40°, se puede aplicar el teorema        a)  Para encontrar el valor de la hipotenusa,
                        de Pitágoras. _________________________          es necesario utilizar la fórmula:

                 2.  Traza la altura en cada triángulo para obtener dos   ___________________________________________
                    triángulos rectángulos.                           b)  Para encontrar el valor de un cateto, es nece-
                    a)                                                   sario utilizar la fórmula:

                                                                         ___________________________________________
                                                                   6.  Calcula  el  lado que falta en cada triángulo
                                                                      rectángulo.
                                                                      a)  Un cateto de un triángulo rectángulo mide
                    b)
                                                                         6 cm y su proyección sobre la hipotenusa
                                                                         mide 2 cm.  Determina los otros dos lados
                                                                         y la altura sobre la hipotenusa.

                                                                         A

                                                                    6 cm  z     y
                 3.  Identifica los elementos del triángulo rectángulo.
                                                                    C  2 cm D  x      B

                                                                      b)   Determina los valores de x, y, z, en el siguien-
                                                                         te triángulo.
                                              __________________
                                                                              y
                __________________
                                                                      20m
                                                                            z z    x
                                    __________________
                                                                              15m




               162   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   162                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   162]]></page><page Index="9"><![CDATA[7.  Construye un triángulo cuyos catetos midan    10. Resuelve aplicando el teorema de Pitágoras.
                       a = 6 unidades y b = 8 unidades. Luego, dibuja    a)  ¿Cuánto  mide  la hipotenusa de un triángulo
                       cuadrados en cada uno de los lados y comprueba       cuyo primer cateto mide 25 m y su segundo
                       que  se  cumpla  el  teorema  de  Pitágoras,         cateto mide 22 m?
                       reemplazando sus medidas en la ecuación:
                       c  = a  + b .
                            2
                        2
                                2
                    8.  Completa la siguiente tabla.
                         Cateto 1      Cateto 2     Hipotenusa           b)  ¿Cuánto mide un cateto si la hipotenusa mide
                            3             4                                 25 cm y el otro cateto, 20 cm?
                            9                           15
                                          24            25

                            30                          50
                                                                         c)  ¿Cuánto mide un cateto si la hipotenusa mide
                            21            28
                                                                            24 cm y el otro cateto mide 7 cm?
                            16                          20
                            27            36
                                          18            30

                    9.  Resuelve aplicando el teorema de Pitágoras.      d)  ¿Qué valor tiene la hipotenusa de un triángu-
                                                                            lo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm?
                       a)
                                  ________
                                                    2 cm
                                          7 cm
                                                                      11. Problema-decisión. Se quiere construir un camino
                       b)                                                recto que una los vértices opuestos de una hacienda
                                  12 cm                                  rectangular. Si los lados de dicha propiedad miden
                                                                         45 hm y 65 hm, ¿cuánto medirá el camino?
                                                 16 cm
                                                                         Si la persona que quiere construir el camino,
                                  ________                               desconoce si es el momento adecuado para
                                                                         realizar este proyecto, ¿qué decisión le sugieres?
                       c)             ________                           Justifica.
                                                                      Actividad cooperativa

                                                                      12. Trabajen en parejas.
                                    13 cm     12 cm                      Analicen: ¿cuántos centímetros cuadrados míni-
                                                                         mo de papel son necesarios para forrar la caja?
                                                                             C


                       d)                                                                     B
                                                                             13 cm
                                                                                            8 cm      _______________
                                                                             12 cm      A
                                               ________
                                   5 cm                               Indaguemos
                                                                      13. Indaga, con algún familiar, en qué momen-
                                                                         to de la vida se utiliza el teorema de Pitágoras
                                            3 cm                         y comparte un ejemplo con la clase.

                                                                                                      Matemática  163
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   163
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   163                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="10"><![CDATA[Polígonos. Clasificación,


                                         elementos y perímetro



               DUA. Representación

                                         Los polígonos son una parte fundamental de la geometría. En la naturaleza se los
                                         puede encontrar en flores, hojas, cristales de hielo, panales de abejas, entre otros.

                                         También, si miras a tu alrededor encontrarás muchas formas poligonales: edificios,
                                         ventanas, señales de tránsito, parques, etc.

                                         Un polígono es una figura geométrica plana, que está determinada por una suce-
                                         sión finita de segmentos de línea recta, que constituyen los lados del polígono. Estos
               ©Shutterstock             lados se interconectan de manera que forman una figura cerrada. Cada vértice
                                         de un polígono es el punto donde se topan dos de estos lados.

                      Los cristales de nieve   Clasificación de los polígonos
                   tienen simetría hexagonal.
                                         Se clasifican según la medida de sus lados  y ángulos  en: polígonos regulares
                                         e irregulares.


                       Comunicacional     Los  polígonos regulares  son aquellos  en  los  que  todos  sus  lados  y  ángulos
                                          tienen igual medida.
                   El origen etimológico   Los  polígonos  irregulares  tienen  al  menos  un  lado  o  un  ángulo  de  medida
                   del término ‘polígono’    diferente al resto.
                 está en la unión de dos
                vocablos: poli = muchos;   De acuerdo con sus ángulos internos, los polígonos se clasifican en cóncavos
                      y gono = ángulos.  y convexos.
                                         Los polígonos cóncavos son los que tienen al menos uno de sus ángulos internos
                                         mayor o igual a 180°. Los polígonos convexos son polígonos en los que todos sus
                                         ángulos internos miden menos de 180°.

                                   Según sus lados                                Según sus ángulos

                          Regulares               Irregulares             Cóncavos                Convexos

                        4 cm       4 cm               2 cm
                                             1,9 cm
                                                            2,1 cm
                      4 cm          4 cm
                                               2,5 cm                           Ángulo > a 180º
                                                         1,8 cm                              Ángulo < 180º
                             4 cm
                                         Elementos de un polígono

                                         A más de los lados y los vértices, los polígonos tienen otros elementos. Entre
                        Vértice
                                         los principales están:
                                         Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
                               Lado
                  Ángulo                 El número de diagonales de un polígono de n lados se puede calcular mediante
                  interno
                                         la fórmula.
                   Ángulo    Diagonal                                       nn 3)
                                                                              ( −
                   central  Centro                                      N =
                                                                          d
                     Radio  Apotema  Ángulo                                    2
                                         Apotema: es el segmento perpendicular a un lado del polígono, trazado desde
                                  externo
                                         el centro.
                                         Radio: es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus
                                         vértices. Solo se encuentra en los polígonos regulares.

               164   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   164
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   164                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="11"><![CDATA[DUA. Representación
                  Centro: es el punto que equidista de todos los vértices del polígono. Solo se en-
                  cuentra en los polígonos regulares.
                  Ángulos interiores: son los que se forman entre dos lados consecutivos del polígo-       Matemática
                  no en su interior.
                  La medida de los ángulos interiores de un polígono regular de n lados es:      Polígono inscrito
                                                                                                 Es un polígono que se
                                                 180 (n -  ) 2
                                             a =                                                 encuentra dentro de una
                                                      n                                          circunferencia, de manera
                  Ángulos exteriores:  son aquellos que se forman entre un lado del polígono     que todos sus vértices
                  y la prolongación del lado adyacente.                                          tocan la circunferencia.
                  Ángulo central: es aquel cuyo vértice está formado por dos radios consecutivos
                  del polígono.
                  En un polígono regular de n lados, la medida de su ángulo externo y la del ángulo
                  central se calcula con la expresión:                                                     C
                                                     360
                                                b =                                                           r
                                                      n
                  Nombres de los polígonos regulares
                  Los polígonos regulares, de acuerdo con el número de lados iguales, reciben nom-
                  bres específicos. Algunos de estos son:                                        Polígono circunscrito
                                                                                                 Es un polígono que rodea
                      3   lados: triángulo equilátero        8  lados: octógono                  por completo una
                                                                                                 circunferencia, de manera
                      4   lados: cuadrado                    9  lados: eneágono o nonágono
                                                                                                 que todos los lados del
                      5   lados: pentágono                 10  lados: decágono                   polígono son tangentes a
                      6   lados: hexágono                  11  lados: endecágono                 la circunferencia.
                      7   lados: heptágono                 12  lados: dodecágono

                  Perímetro de un polígono
                  El perímetro de cualquier polígono es la suma de las medidas de todos sus lados.         C

                  Ejemplos:                                                                                   r
                  1.  Clasifica los siguientes polígonos en regulares e irregulares.

                    a)          b)          c)          d)         e)          f)






                                                                                                     Seguridad vial
                         Polígonos regulares: a, b, d        Polígonos irregulares: c, e, f

                  2.  Completa la tabla.                                                         Mira a ambos lados antes
                                                                                                 de cruzar la calle, incluso
                      Polígono      Perímetro     Medida del     Medida del    Número de         cuando el hexágono del
                      regular                    ángulo interno  ángulo central  diagonales      disco PARE sea evidente

                        4u                          180 (n − ) 2  β = 360     N°=  nn− ) (  3    para los conductores.
                                     P = 4 n     α =                            d
                                                        n              n              2
                                                         − )
                                     P = 4 (6)      180 (62       β = 60 °          (  − ) 66 3
                                                 α =                          N°=
                                                                                d
                                     P = 24 u           6                             2
                                                 α =120 °                     N°= 9
                                                                                d
                                                                                                      Matemática  165
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   165                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   165]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                        ó                                                                   Acción y expresión





               1. Identifica las figuras geométricas que son


                   polígonos.                                         Saberes previos
                                            3         4              ¿Cómo puedes comprobar que los ángulos internos
                                                                     de un triángulo son correctos?
                       1          2

                                                                   5. Clasifica los siguientes polígonos y completa

                                  6
                        5                   7           8             el cuadro.
                                                                                     Por la medida
                                                                         Polígono    de sus lados   Por el número
               2.  Responde con verdadero o falso a las afirmaciones.                 y ángulos      de lados

                   a)   Un triángulo no es polígono.  ____________
                   b)   El triángulo tiene 3 diagonales.  __________
                   c)   Las diagonales de un polígono regular
                      tienen igual medida.  ___________________
                   d)   Un rectángulo es un polígono regular.  _____

                   e)   El ángulo central de un cuadrado tiene igual
                      medida que sus ángulos interiores.  _______

                   f)   El radio de un polígono regular tiene
                      menor longitud que su apotema.  _________


               3.  Demuestra que la medida del ángulo central de
                   un hexágono regular es la mitad de la medida de
                   su ángulo interior.







                                                                   6. Dibuja los polígonos solicitados
               4. Colorea  con  azul  los  polígonos  cóncavos  y  con
                   rojo los polígonos convexos.                       a)  Un hexágono convexo regular.
                                                                                     Varias Respuestas




                                                                      b)  Un cuadrilátero cóncavo.
                                                                                     Varias Respuestas




                                                                      c)  Un heptágono convexo regular
                                                                                     Varias Respuestas








               166   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   166                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   166]]></page><page Index="13"><![CDATA[7.   Identifica los elementos del polígono.       9.  Traza las diagonales de los siguientes polígonos

                              _______                                    y  comprueba mediante la fórmula si son
                                                                         correctos.
                             _______                  _______
                     _______                                             a)

                                                           _______
                      _______


                                                       _______
                       _______
                                                         _______

                    8.   Determina el perímetro, el número de diagona-
                       les, la medida del ángulo interior y la medida del
                       ángulo central.                                   b)

                       a)                                                              A          B

                                            Perímetro:   _____________
                                     3 cm
                                                                               H                         C
                                            Diagonales:    ___________
                                            Ángulo interior: _________
                                                                               G                         D
                                            Ángulo central:  ________
                       b)
                                                                                       F         E
                                   5 cm
                                            Perímetro:   _____________

                                            Diagonales:    ___________  Actividad cooperativa
                                            Ángulo interior: _________  10. Trabajen en parejas y  resuelvan,  escriban

                                            Ángulo central:  ________    el  polígono  regular  que  corresponde  a  cada
                                                                         elemento dado
                       c)
                               6 m                                       a)   Ángulo interior: 140º

                                            Perímetro:   _____________        ___________________________________

                                            Diagonales:    ___________   b)   54 diagonales
                                                                              ___________________________________
                                            Ángulo interior: _________

                                            Ángulo central:  ________    c)   Ángulo central: 32,72º
                                                                              ___________________________________
                       d)
                               12 m                                      d)   Lado 2,5 m y perímetro: 37,5 m
                                            Perímetro:   _____________        ___________________________________

                                            Diagonales:    ___________  Indaguemos
                                            Ángulo interior: _________  11. Averigua  qué polígono  tiene 44 diagonales
                                                                         y nómbralo.
                                            Ángulo central:  ________


                                                                                                      Matemática  167
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   167
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   167                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="14"><![CDATA[Área de polígonos regulares







               DUA. Representación

                                         Muchos de los objetos que nos rodean son polígonos regulares: baldosas, adornos,
             ©Shutterstock               señales de tránsito, mesas, parques, entre otros. Es necesario saber calcular su área,
                                         ya que permite realizar trabajos exactos, medir superficies, construir edificios, anali-
                                         zar datos, entre otras aplicaciones.
                                         Las mesas octogonales tienen una apariencia única y distintiva. La forma octogonal
                                         puede ser elegida para aportar un toque de originalidad y sofisticación a la decora-
                                         ción de una habitación. ¿Qué cantidad de madera aglomerada se necesita para el
                                         tablero de una mesa de radio 91,5 cm y de 70 cm de lado?

                 Mesa de madera con tablero   Solución
                       de forma octogonal.
                                         Los polígonos regulares tienen n lados iguales, por lo que si unimos con un segmen-
                      aglomerado. Tabla   to de recta el centro con cada vértice, el polígono queda dividido en n triángulos
                      de madera que se   iguales. Entonces, el área de un polígono se puede determinar mediante la suma de
                      forma a partir de   las áreas de estos triángulos.
               mezclar virutas con cola.
                                         Para resolver el problema, calculamos el área de uno de los triángulos. Determina-
                                         mos el valor de la altura mediante el teorema de Pitágoras.
                 Interdisciplinariedad

                                                        l
                  Matemática e historia        h =  r − ( ) 2                                         1
                                                    2
                     Fórmula de Herón                    2                                         8      2
                                                            2
                                                                      ,
                Herón (siglo I d. C.) fue un   h = 915 ,  2  −35 ;        h = 845 cm              7        3
                 ingeniero y matemático                                                            6      4
                  que vivió en Alejandría   El área del triángulo es:                                 5
                   (provincia romana de
                  Egipto). Fue uno de los
                                                     ⋅
                  científicos e inventores       A =  bh
                     más grandes de la               2                                                    91,5 cm
                          Antigüedad.               70 ⋅84 5 ,                                91,5 cm          h
                 Su logro más destacado          A =   2                                           h
                      en el campo de la                      2
                        geometría es la          A = 2 957 5 , cm                               70 cm     35 cm
                 denominada fórmula de
                     Herón, en la que se   Luego, para obtener el área multiplicamos por el número de triángulos:
               establece la relación entre
                  el área de un triángulo
                    y la longitud de sus
                          lados a, b, c.  Entonces se necesitan 23 660 cm  o 2,366 m  de madera aglomerada.
                                                                                2
                                                                      2
                   a        b            A partir del método anterior podemos establecer una fórmula para hallar el área
                                         de un polígono regular.

                                                                               ⋅
                         c Donde s es el   Para n triángulos tenemos que:     bh   ; si h es la apotema del polígono,
                                                                            n
                                                                         p
                        semiperímetro.                                  A =⋅   2
                                          b es su lado y considerando además que n · b es el perímetro, se obtiene que:
                            − )(
                       − )(
                      (
                                −
                 A =  s sa sb sc)
                                                                              ⋅
                            ++
                          ab c                                           A =  Pap
                       s =                                                p
                             2                                                 2
               168   Matemática
                     9.º EGB

                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   168                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   168]]></page><page Index="15"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos:
                  a)  Un balón de fútbol típico tiene 20 hexágonos y 12 pentágonos. La forma en la que
                     estos polígonos se ensamblan da como resultado una estructura esférica, que es
                     conocida como icosaedro truncado. Los hexágonos y pentágonos generalmente
                     están cubiertos con paneles de cuero o material sintético. Si el lado de cada polí-
                     gono del balón mide 5,5 pulgadas y las apotemas del pentágono y hexágono son
                     4,8 y 3,8 pulgadas, respectivamente, ¿qué cantidad de material es necesario para
                     cubrir un balón?
                  Solución                                                                                                ©Shutterstock
                  Para determinar la cantidad de material necesario, debemos calcular el área de los
                  polígonos regulares que forman el balón.

                                                                                                      Educación
                                                                                                      financiera

                                                                                                 La mayoría de los edificios
                                                                                                 y estructuras en nuestro
                                    4,8 plg                            3,8 plg                   entorno, como casas,
                                                                                                 rascacielos, puentes
                                                                                                 y monumentos, están
                                   5,5                                  5,5                      diseñados en su mayoría
                                                                                                 con formas poligonales,
                                            ,
                                    ,
                                                                          ,
                                                                                  ,
                           n = 6;  l = 5 5;  ap = 4 8            n = 5;  l = 5 5;  ap = 3 8      como rectángulos,
                              n l
                                                                     n l
                           P = ⋅                                 P = ⋅                           triángulos y cuadrados.
                            1
                                                                  2
                           P = ( 65 5 ,  )                       P = ( 55 5 ,  )                 Los arquitectos utilizan
                                                                                                 conceptos geométricos
                            1
                                                                  2
                           P = 33  plg                           P = 27 5 ,   plg                para crear diseños
                                                                  2
                            1
                                                                       ⋅
                                ⋅
                               Pap                                   Pap                         funcionales y estéticos.
                           A =  1                                A =  2
                            1
                                 2                                2    2
                               33 ⋅448,                              2775 38, ⋅  ,                                     ©Shutterstock
                           A =                                   A =
                            1
                                 2                                2      2
                           A = 79 2 plg 2                        A 2  = 52 3 plg 2
                                                                       ,
                                 ,
                            1
                  Para determinar la cantidad de material para cubrir el balón, sumamos las dos áreas
                  multiplicadas por el número de hexágonos y pentágonos que se emplean.
                                                                                                 Imagina
                                                                                                 un emprendimiento tuyo,
                                       ;                                                         ¿cómo te puede colaborar
                                                                                                 la geometría con él?
                  Se necesitan 2 211,6 pulgadas cuadradas de material para cubrir el balón.
                  b)  Calcula el área de un decágono de lado 20 cm inscrito en una circunferencia
                     de radio 32,36 cm.                                                               Desarrollo
                                                                                                      sostenible
                  Solución.
                  Calculamos el perímetro y, aplicando el teorema de Pitágoras, hallamos la apotema;   Ayuda a disminuir la
                  luego aplicamos la fórmula para el cálculo del área del polígono.              contaminación ambiental.
                                                                                                 Evita productos de un
                                                               ,
                                                         200 ⋅30 78                              solo uso. Procura utilizar
                                       ,
                   P = (10  )20           h = 32 36 2 −10            a =
                                               2
                                                      p
                                                             2                                   artículos reutilizables.
                   P = 200                = 30 78,   cm                     p  =
                                                                                                      Matemática  169
                                                                                                          9.º EGB


                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   169
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   169                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="16"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





                 1.   Responde con verdadero o falso a las siguientes   4.  Calcula el área de los polígonos de las figuras.
                    afirmaciones.

                    a)   Las diagonales de un dodecágono lo dividen   a)              22 cm
                        en diez triángulos iguales.   ______________
                    b)   Las diagonales trazadas en un pentágono                     22,85 cm
                        lo dividen en cinco triángulos                                             _______________
                        equiláteros.  __________________________
                    c)   La medida de la apotema de un
                        cuadrado es igual a la mitad
                        de la longitud de su lado.  _______________  b)
                    d)   El valor del área de un hexágono regular                      30 mm
                        de 2 metros de lado es 6 veces el valor
                        de su apotema.  _______________________
                    e)   El área de un hexágono de radio 5 m                                       _______________
                        es menor que el área de un cuadrado                        20,65 mm
                        de lado 8 m.  _________________________

                 2.   Demuestra que el área de un cuadrado puede
                                       P                           c)                15 dm
                                          l
                    expresarse como  A =⋅  , donde P es el períme-
                                       4
                    tro y l es el lado del cuadrado.
                 3.   Halla la apotema de los siguientes polígonos                                 _______________
                    regulares.                                                     20,61 dm
                    a)

                                                                   d)
                                                                                       52 cm
                                   8 m      8 m




                                                                                   97,03 cm
                                                                                                   _______________

                    b)                                             e)

                                                                                         18 cm
                                    5,23 m

                                            4 m                                   21,73 cm
                                                                                                   _______________









               170   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   170
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   170                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="17"><![CDATA[5.   Escribe en cada caso  cuántos triángulos se  re-  9.  Realiza las siguientes actividades:
                       quieren para que unidos formen un polígono re-    a)  Calcula el área de uno de los triángulos que
                       gular. Indica el nombre del polígono.
                                                                            conforman el polígono.
                       Sugerencia: recuerda que los ángulos centrales
                       de un polígono suman 360º.
                       a)                                                                      L = 12 cm
                                                                                               ap = 8,26 cm
                                                                                    ap




                             60°        60°

                                                                         b)  Obtén el área del polígono a través del área
                       b)                                                   de los triángulos que lo conforman.





                             54°        54°
                                                                         c)  Calcula el área del polígono con la fórmula
                                                                            para polígonos regulares. Luego compara el
                                                                            resultado.
                    6.   Calcula el área de los siguientes hexágonos,
                       cuyos lados miden.


                       a)   40 cm
                                                                     Actividad cooperativa

                                                                     10. En parejas realicen la actividad 6 mediante la su-
                       b)   3,6 m                                        matoria de las áreas de los triángulos que com-
                                                                         ponen el polígono regular.  Usen la fórmula de
                                                                         Herón para calcular el área de los triángulos.
                    7.  Determina el área de un cuadrado de 2,5 cm de   Indaguemos
                       lado.  Comprueba  el  resultado  mediante la  fór-
                       mula del área de un polígono regular. ¿Cuál es la   11. Investiga la resolución de triángulos rectángulos.
                       apotema del cuadrado?                             Luego, completa la tabla.

                                                                                               Ángulo
                                                                            Figura     Lado    central     Área

                                                                          Pentágono   10 cm

                                                                          Nonágono     6 m
                    8.  Calcula cuántos adoquines hexagonales de
                       10 cm de lado se necesitan para cubrir un patio    Heptágono    12 m
                       de 200 m2.
                                                                          Octógono     2,5 m


                                                                          Decágono   320 mm

                                                                          Hexágono    20 cm


                                                                                                      Matemática  171
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   171
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   171                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                                                                                             Participación




               Geometryx, una aplicación que te ayudará con tus cálculos geométricos

               Geometryx es una aplicación que permite, de una manera rápida y simple, calcular los valores
               y los parámetros de figuras y sólidos geométricos. La aplicación calcula área, perímetro, volu-
               men, altura, longitud del lado, diagonales, longitud de segmentos, medidas de ángulos, ra-
               dio, entre otros elementos de varias figuras geométricas.
               Geometryx está disponible para teléfonos móviles en la tienda Google Play o App Store, así
               como también lo puedes descargar para tu PC en lynk.ec/9mt26
               Esta aplicación permite realizar cálculos geométricos en 2D y 3D, es decir en figuras planas
               y en sólidos geométricos.
               Una vez instalada la aplicación en tu teléfono móvil, debes seleccionar la tarea que deseas
               realizar.
               Actividades:
               1.   Trabajemos con un triángulo rectángulo.        2.   Calcula el área de un pentágono regular de 6 uni-
                                                                      dades de lado.
                   Selecciona en el menú ‘Triángulo rectángulo’. Luego,
                   escribe dos parámetros conocidos, en este caso los   Selecciona en el menú ‘Polígono regular’. Después,
                   dos catetos del triángulo rectángulo a = 12; b = 16.
                                                                      escribe dos parámetros conocidos, número de lados
                   Enseguida aparecen, en la parte inferior, los elementos   n = 5; a = 6.
                   desconocidos especificados en el gráfico del triángulo.




































               Taller


               Usa la aplicación para hallar el área y el perímetro de un hexágono regular de lado 10 cm y de radio de la circun-
               ferencia inscrita de 10 cm.



               172   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   172                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   172]]></page><page Index="19"><![CDATA[DUA
                            
                                                                     Participación




                    Tips eléctricos

                    La electricidad es importante, ya que ilumina y hace funcionar los                                  ©Shutterstock
                    aparatos eléctricos, como televisores, refrigeradoras, lavadoras, etc.
                    El consumo de electricidad se mide en kilovatios-hora (kWh). Cada
                    aparato o dispositivo funciona con una determinada potencia; así,
                    por  ejemplo:  una  plancha  consume  1,2  kWh,  un  microondas
                    0,9 kWh, una computadora 0,2 kWh. Es así que, en nuestro país, un
                    hogar promedio en la zona urbana consume alrededor de
                    150 kWh al mes. Por otro lado, el costo de cada kWh es de $0,096,
                    entonces, hagamos números y calculemos cuánto gastamos.
                    Es necesario adoptar hábitos de consumo de energía conscientes,            Apaga las luces que no necesitas.
                    aquí tienes algunos.

                    •  Cambia los focos tradicionales por focos LED. Son más eficientes, duraderos y reducen el consumo.
                    •  Apaga dispositivos electrónicos y luces cuando no los uses.
                    •  Desconecta los cargadores de dispositivos electrónicos si no están en uso.
                    •  Utiliza la lavadora y la secadora con cargas completas.
                    •  Ajusta la temperatura del refrigerador, según sea necesario.
                    Adoptar estos hábitos de forma consciente, beneficia al bolsillo y a la sostenibilidad ambiental.





                   Taller

                    De acuerdo con la información presentada, responde las preguntas.
                    En cada pregunta selecciona la alternativa correcta.

                    1.   ¿Qué es el consumo de electricidad?          3.   Escribe tres consejos para el ahorro en el consumo
                                                                          de energía eléctrica.
                       a)   La cantidad de energía que se utiliza en un hogar.
                       b)   La cantidad de energía que se produce en una   •  ______________________________________________
                          central eléctrica.                              •  ______________________________________________
                                                                          •  ______________________________________________
                       c)   La cantidad de energía que se almacena en una
                          batería.                                    4.   Un teléfono celular para una carga completa re-

                       d)   La cantidad de energía que se transmite a través   quiere de 0,35 kWh. Una computadora consume
                          de un cable.                                    0,2 kWh, un foco led 0,15 kWh. Si el costo de kWh es
                                                                          de $0,096, calcula cuánto gastas en energía eléctri-
                    2.   ¿Cómo se mide el consumo de electricidad?
                                                                          ca en un día al usar estos tres artefactos eléctricos.
                       a)   En vatios
                                                                          _________________________________________________
                       b)   En amperios
                                                                      5.   Averigua el consumo de energía de tu teléfono
                       c)   En kilovatios-hora                            celular. ¿Cuántas veces cargas la batería en un día?
                       d)   En voltios                                    Calcula el costo del uso de tu teléfono en un mes.



                                                                                                      Matemática  173
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   173                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   173]]></page><page Index="20"><![CDATA[DUA
                        á                                                                    Participación




               Estrategia: Elaborar un gráfico


                 La parte central de un parque tiene la forma de un hexágono regular, cuyo
                 lado mide 10 metros. A este espacio se le colocará cerámica. ¿Cuántos metros
                 de cerámica se requieren?




                 1.  Comprende el problema y plantea una estrategia.
                    a)   ¿Qué pregunta el problema?
                        ____________________________________________________________________
                        ____________________________________________________________________

                    b)  ¿Qué estrategia plantearías para la solución?
                        Realizar un gráfico de la superficie hexagonal. Recordar las propiedades   ap 10 m


                        de los polígonos regulares. Calcular la apotema mediante el teorema   10 m
                        de Pitágoras y luego aplicar la fórmula del área de un hexágono.


                                                                                No
                                       ¿Tienes claras la pregunta y la                 Vuelve a leer e interpretar
                                         estrategia de solución?                       el problema.


                                                         Sí

                 2.   Aplica la estrategia y resuelve.


                    Calculamos el valor de la apotema,   Luego calculamos el área:
                    considerando  que  esta  biseca  al    Pap
                                                            ⋅
                    lado del hexágono:                  A =
                                                             2
                       ap = 10 2  −5 2  = 53 m
                                      ____________
                                                                        ________________





                                                                                No     Vuelve a leer la información
                                       Tienes claro cómo obtienes                      del problema o revisa tu
                                          los datos y el proceso.
                                                                                       estrategia.

                                                         Sí


                 3.   Verifica y responde la pregunta.
                    Se necesitan ___________  de cerámica para cubrir el espacio del parque          Fin





               174   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   174                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   174]]></page><page Index="21"><![CDATA[Resuelve los siguientes problemas, aplica la estrategia más adecuada.
                  1. Luis quiere dividir un terreno cuadrangular, en dos   4. Gabriela elaborará 12 cometas de forma hexagonal,
                      partes  iguales, atravesando una  cuerda  para  for-  cuyos lados miden 28 cm.
                      mar una diagonal. Si el terreno tiene una superficie

                              2
                      de 144 m , ¿cuánto tiene que medir la cuerda?      ¿Qué cantidad de papel necesita para elaborarlas?











                  2. Durante las horas de arte, Martina y Valentina ha-  5. En un colegio quieren hacer una mesa de pícnic
                      cen un mural en forma de trapecio y desean colo-
                      car una cinta decorativa en el borde. Si el trapecio   con base hexagonal. ¿Cuál es el área que ocupará
                      tiene las siguientes medidas, ¿cuántos metros de   esta mesa si cada lado mide 60 cm?
                      cinta necesitan?

                                   75 cm



                               60 cm  120 cm






                                                                     6.  En la siguiente imagen, calcula la diagonal del cubo
                                                                         ED.

                                                                                        B             C


                                                                               A
                  3. David dispone de varias mesas de forma romboi-                           D        25 cm

                      dea con las medidas de la figura. ¿Cuántas mesas
                      necesitará  para  que juntas tengan un perímetro
                      de 80 dm?                                                          F             G
                                                   x                                               25 cm
                                                                               E              H
                                       6 dm                                         25 cm
                                               8 dm
















                                                                                                      Matemática  175
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   175
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   175                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="22"><![CDATA[Sólidos geométricos







               DUA. Representación

                                         Todo lo que nos rodea está relacionado con la geometría. Las paredes de los edifi-
                                         cios, las ventanas, las hojas de los árboles, nuestros teléfonos móviles, los envases
                                         de bebidas, etc., tienen distintas formas, unas son regulares y otras, irregulares.
                     Cara     Ángulo
                              poliedro   Los sólidos o cuerpos geométricos son figuras tridimensionales, es decir tienen tres
             Diagonal                    dimensiones: longitud, profundidad y altura, esto significa que tienen volumen
                                         y ocupan un lugar en el espacio.
                                         Los cuerpos geométricos se dividen en dos grandes grupos: los poliedros, que son
            Ángulo                       sólidos en los que las superficies que los delimitan son planas; y los cuerpos redon-
            diedro
                                         dos, en los que algunas o todas las superficies que los delimitan son curvas.
                              Vértice
                       Arista            Poliedros
                                         Un poliedro es una figura geométrica con tres dimensiones constituido por un nú-
                                         mero finito de caras que, a su vez, son polígonos.

                                         Clasificación de los poliedros
                           Cívica
                                         Poliedros regulares: son sólidos geométricos tridimensionales, cuyas caras son
                  En Cochasquí existe un   polígonos regulares congruentes y en cada vértice se encuentran el mismo número
                  complejo de pirámides   de caras y de aristas. Los poliedros más famosos son los de la siguiente tabla.
                  y tumbas, un verdadero
                    tesoro arquitectónico   Tetraedro  Hexaedro / cubo    Octaedro     Dodecaedro      Icosaedro
                   prehispánico. Este nos
                permite encontrarnos con
               nuestra historia e identidad.
               La estructura no es visible
                 porque la vegetación la
                ha cubierto; sin embargo,
                se recrea su arquitectura,   4 triángulos                8 triángulos   12 pentágonos   20 triángulos
                   que da clara muestra    equiláteros    6 cuadrados    equiláteros     regulares     equiláteros
                       de 15 pirámides
                    truncadas y cerca de   Polígonos irregulares: estos poliedros no tienen caras ni aristas ni ángulos iguales.
                20 montículos funerarios.  Pueden ser prismas o pirámides.
                                         Prisma: es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales llamadas bases, las
               ©Shutterstock             cuales son polígonos y que están unidas a las caras laterales que son
                                         paralelogramos.
                                         Pirámide: es un poliedro que tiene como base un polígono y cuyas caras laterales
                                         son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

                                            Base                  Arista                            Vértice
                                                                  básica
                Pirámides planas de Cochasqui,                                       Arista
                        sitio arqueológico.
                                          Arista                                                        Apotema de
                 ¿Por qué debe ser parte del   lateral           Cara                                   la pirámide
                civismo la valoración de los   Altura            lateral
                conocimientos ancestrales?                                        Altura

                                                                 Base                                      Cara
                                          Vértice
                                                                Apotema de          Base              Apotema de
                                                                la pirámide
                                                                                                      la base

               176   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   176                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   176]]></page><page Index="23"><![CDATA[DUA. Representación

                  Cuerpos redondos

                  Los cuerpos geométricos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus
                  caras o superficies de forma curva. También se les llama cuerpos de revolución, por-       Matemática
                  que pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. Los cuer-
                  pos redondos más comunes son la esfera, el cono y el cilindro.                 El cono es un sólido de
                                                                                                 revolución, que se forma
                                                                                                 a partir del giro de un
                               Vértice              Eje de rotación  Radio          Super cie    triángulo rectángulo
                    Super cie lateral  Generatriz    Base superior                    Centro     en torno a uno de sus
                                Altura
                                                                                                 catetos.
                                                     Super cie Lateral
                                                     Generatriz
                                                     Altura   Circunferencia         Diámetro
                                                     Radio
                     Base      Radio                 Base inferior
                         Cono              Cilindro                       Esfera


                  Construcción de sólidos geométricos                                            ¿Cómo se puede construir
                                                                                                 un cilindro?
                  Los poliedros están compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas,
                  mientras que los cuerpos redondos están compuestos total o parcialmente por figu-
                  ras geométricas curvas. La construcción de estos cuerpos geométricos implica la
                  elaboración de diagramas (redes) considerando cuidadosamente las dimensiones
                  de sus planos y lados comunes, lo que permite realizar pliegues para obtener el
                  cuerpo tridimensional.

                  Ejemplos:
                   a) Construye un hexaedro, un prisma pentagonal y un cono.


                           Hexaedro            Prisma pentagonal              Cono                     Digital


                                                                                                 Observa el video
                                                                                                 y refuerza la construcción
                                                                                                 de sólidos geométricos.
                                                                                                 lynk.ec/9mt27

























                                                                                                      Matemática  177
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   177
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   177                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                        ó                                                                   Acción y expresión






                 1.  Completa las siguientes oraciones con las pala-  Saberes previos
                    bras correctas.
                                                                    Toma una caja. Cuenta sus caras y esquinas. ¿Cuántas

                    a)   Los sólidos o cuerpos geométricos son fi-  tiene?
                        guras  tridimensionales, o sea,  tienen tres
                        _______________:  longitud,  profundidad
                        y _______________. Por tanto, tienen volumen   3.  Completa la siguiente tabla.
                        y ocupan un lugar en el espacio.                                      Figura de   Número
                                                                       Sólido      Nombre
                    b)   Los cuerpos geométricos se dividen en dos                             la cara   de caras
                        grandes grupos; los _______________, que son

                        sólidos en los que las superficies que los deli-
                        mitan son planas; y los cuerpos redondos, en
                        los que algunas o todas las superficies que los

                        delimitan son _______________.
                    c)   Un  _______________es una fi gura geométri-
                        ca con tres dimensiones, constituido por
                        un número finito de caras que, a su vez, son                                                 ©Shutterstock

                        _______________.
                    d)   Los poliedros  _______________tienen todos
                        sus ángulos diedros y todos sus ángulos po-
                        liedros iguales y sus caras son polígonos regu-
                        lares _______________.
                    e)   Un_______________ es un poliedro que tiene
                        dos caras paralelas e iguales llamadas bases,
                        las cuales son polígonos y están unidas a las
                        caras_______________que son paralelogramos.
                    f)   Una pirámide es un poliedro que tiene como
                        base un polígono y cuyas caras laterales son
                        _______________ con un vértice común, que es
                        el vértice de la pirámide.                 4.  Escribe los elementos del siguiente poliedro.

                 2.  Clasifica los siguientes sólidos geométricos.       _______
                                                                                                         _______
                             A          B        C                    _______




                             D         E         F


                ©Shutterstock    G     H          I                   _______                           _______

                    Poliedros:  ______________________________
                                                                                         _______
                    Cuerpos redondos:  _______________________





               178   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   178
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   178                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="25"><![CDATA[5.   Responde con verdadero o falso a las siguientes   c)             Octaedro
                       afirmaciones.
                                                                                 Forma               Desarrollo
                       a)   El tetraedro tiene 4 vértices.  _____________
                       b)   Un prisma octogonal tiene 8 caras.   _______
                       c)   Un cubo tiene 12 aristas.   _______________
                       d)   Un octaedro tiene 6 vértices.  ____________
                       e)   Un cono tiene una sola base.   ____________
                       f)   Una pirámide cuadrangular tiene 4 caras. ___
                    6.   Responde las preguntas.                              caras         aristas       vértices

                       a)   ¿Por qué al cono y al cilindro se los llama
                          cuerpos de revolución?   ________________  8.   Relaciona la red con el sólido correspondiente.

                          ____________________________________________
                          ____________________________________________
                       b)   ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide     a)
                          y un prisma?  _________________________                                   1) Cono
                          ____________________________________________
                          ____________________________________________

                    7.   Completa la información de cada sólido
                       geométrico.                                       b)                         2) Pirámide
                    a)              Pirámide hexagonal                                              cuadrangular
                               Forma               Desarrollo




                                                                          c)
                                                                                                    3) Pirámide
                                                                                                    pentagonal



                            caras         aristas       vértices
                                                                           ___________________________________________

                                                                     Actividad cooperativa
                    b)              Prisma pentagonal
                               Forma               Desarrollo        9.   Trabajen en parejas. Realicen el desarrollo de un
                                                                         sólido geométrico con los siguientes elementos:
                                                                         5 caras, 9 aristas y 6 vértices. Luego armen el sóli-
                                                                         do e indiquen su nombre.

                                                                            ____________________________________________

                                                                     Indaguemos
                                                                     10. Investiguen sobre las pirámides y conos trun-
                            caras         aristas       vértices         cados. Realicen el desarrollo de estas dos figu-
                                                                         ras, ármenlas y obtengan el sólido. Expongan
                                                                         en clase.


                                                                                                      Matemática  179
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   179                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   179]]></page><page Index="26"><![CDATA[ó                                                                        DUA
                   
                                                                           Participación



                  Dinero electrónico



                                                                                                                       ©Shutterstock




























                           Compra online.
                                         El dinero es un medio de intercambio para realizar pagos y transacciones. A lo largo
                                         de la historia, el dinero ha adoptado diversas formas, desde conchas, sal y metales
                                         preciosos, hasta formas modernas como monedas, billetes y hoy tenemos el dinero
                                         digital o electrónico.
                                         El dinero electrónico es una forma de dinero que existe solo de manera digital, por lo
                                         que permite realizar pagos y transferencias mediante un dispositivo electrónico sin
                                         elementos físicos, como monedas o billetes.

                                         Existen varias formas de dinero electrónico, entre las principales tenemos tarjetas
                                         de débito y crédito, transferencias electrónicas, criptomonedas, monederos o billete-
                                         ras electrónicos y dinero móvil.
                                         En Ecuador se implementó el mecanismo de dinero electrónico en 2014 y desde
                                         entonces, el dinero electrónico ha tenido un gran crecimiento, diariamente se regis-
                                         tran entre 500 y 700 nuevas cuentas.
                 Calculo
                                         Ventajas del dinero electrónico: accesibilidad en cualquier momento, rapidez en las
                 Averigua sobre las      transacciones, facilidad de uso, inclusión financiera, seguimiento de transacciones
                 compras con tarjeta     (lo que es útil para la gestión financiera y la prevención de fraudes).
                 de crédito a plazo      Desventajas: vulnerabilidad de datos y privacidad. Además, debido a la dependencia
                 diferido. Si vas a realizar   de medios externos, la infraestructura tecnológica se puede afectar cuando hay
                 una compra por $200     caídas del sistema; y si no se tiene el debido cuidado, es susceptible de fraudes. Si la
                 y la difieres a 3 meses,   transacción se realiza desde una institución financiera a una cuenta en otra institu-
                 ¿cuánto debes pagar     ción, se cobra un valor por comisión, 50 centavos de dólar. También si se realizan pa-
                 mensualmente?           gos con medios electrónicos, como tarjetas de débito o crédito, se generan
                                         cargos de entre el 2 y el 4 % del valor de la transacción.


               180   Matemática
                     9.º EGB





         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   180                                                                        22/11/24   14:49
                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   180]]></page><page Index="27"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información, responde las preguntas.   Tarjeta de Crédito         BANCO NN         ©Freepik

                  1.  ¿Qué es el dinero electrónico?

                      __________________________________________________
                      __________________________________________________
                      __________________________________________________
                      __________________________________________________
                      __________________________________________________   Nombre Apellido
                      __________________________________________________

                  2.   Escribe las formas de dinero electrónico mencionadas en la lectura.

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  3.   ¿En qué año se implementó en Ecuador el uso del dinero electrónico?
                      a)   2013
                      b)   2014
                      c)   2016
                      d)   2020

                  4.   ¿Cuáles son las ventajas del uso del dinero electrónico mencionadas en el texto?

                      a)   Es más seguro que el uso del efectivo.
                      b)   Permite pagar por bienes o servicios de una forma inmediata o más rápida.
                      c)   Permite un fácil control sobre las operaciones y gastos realizados.
                      d)   Todas las anteriores.
                  5.   Menciona dos desventajas del uso del dinero electrónico y por qué las consideras como tal.

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  6.   La tarjeta de crédito/débito es una forma de dinero electrónico. Consigue una tarjeta, toma sus medidas,
                      calcula su diagonal y determina su área mediante dos formas distintas.









                  7.  Realiza en una cartulina una línea de tiempo de la evolución del dinero como medio de pago. Expón en clase
                      tu trabajo.


                                                                                                      Matemática  181
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   181                                                                        22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   181]]></page><page Index="28"><![CDATA[DUA
                   	í      É                                                                   Participación




                 Tradiciones y costumbres del Ecuador


                                                                                                                       ©Shutterstock





































                                         Las costumbres son aspectos culturales de una comunidad que reflejan su identidad
                       Monigotes gigantes,
                   todo un espectáculo para   y tradiciones. Juegan un papel importante en la preservación y transmisión de la cul-
                   el Año Viejo en Guayaquil.  tura entre las generaciones.
                                         Según el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC), Ecuador es un país mul-
                                         tiétnico y pluricultural, con diferentes etnias, que conservan muchas de sus costum-
                                         bres y tradiciones. El 71,9 % de la población son mestizos, el 7 % es indígena, el 7,2 %
                                         son  afroecuatorianos,  el 7,4  % se  identifica  como montuvio, el  6,1 %  es blanca,
                 Averiguo                y el 0,4 % de la población se identifica con otras etnias

                 Consulta acerca del     Cada grupo cultural ha sabido mantener vivas sus costumbres y tradiciones a través
                 parque arqueológico     del tiempo, por lo que desempeñan un papel fundamental en la vida cotidiana
                 Cochasquí. ¿Qué tipo    de las comunidades y contribuyen de manera significativa a la identidad cultural
                 de figura geométrica    del país, fomentan el respeto y la comprensión entre las comunidades, son medios
                 hay en este lugar?,     importantes para la transmisión de conocimientos, valores, sabiduría entre genera-
                 ¿cuál es su aporte para   ciones; también fortalecen los lazos sociales y fomentan un sentido de pertenencia
                 el fortalecimiento      y responsabilidad compartida. Por otro lado, las costumbres y tradiciones
                 de la identidad         son un atractivo para el turismo y contribuyen al desarrollo económico sostenible,
                 cultural del país?      al atraer visitantes interesados en experimentar la autenticidad cultural del país.
                                         Algunas de las tradiciones y costumbres nuestras son: Año Viejo, Inti Raymi, Fiesta
                                         de la Chonta Amazónica, Diablada de Píllaro, Paseo del Chagra, Rodeo Montuvio, etc.
                                         ¿Qué tradición tienen en tu ciudad?


               182   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:49
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   182
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   182                                                                        22/11/24   14:49]]></page><page Index="29"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información presentada, responde                                                    ©Shutterstock
                  las preguntas.

                  1.  ¿Cuál es el tema principal de la lectura?

                      _________________________________________________
                      _________________________________________________
                      _________________________________________________

                  2.   ¿Qué son las costumbres?
                      _________________________________________________
                      _________________________________________________
                      _________________________________________________

                  3.   Según el texto, ¿qué porcentaje de la población de Ecuador se identifica como mestiza?

                      a)   71,9 %         b)   7 %            c)   7,2 %          d)   6,1 %

                  4.   ¿Cómo contribuyen los grupos étnicos al fortalecimiento de la identidad cultural de un país?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________


                  5.   Escribe tres razones por las que se deben conservar las costumbres tradicionales.
                      •   ______________________________________________________________________________________________________
                      •   ______________________________________________________________________________________________________

                      •   ______________________________________________________________________________________________________

                  6.   ¿Por qué las tradiciones y costumbres étnicas son importantes para el turismo?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  7.   ¿De qué manera las tradiciones y costumbres de nuestro país permiten afianzar la identidad cultural, y por tanto,
                      el civismo de los ecuatorianos?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática  183
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   183                                                                        22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   183]]></page><page Index="30"><![CDATA[DUA
                   	                             Textos y lecturas                            Participación
                                                 desde la Internet

               Radiación solar: ¿cuál es su impacto sobre el planeta y el ser humano?



                                                                                                                    ©Freepik
































               El ser humano está expuesto a la radiación UV, que sin protección puede ser peligrosa para su piel.
               “La radiación solar es la energía emitida por el Sol, la cual   (IUV). Este índice se mueve entre los valores del 1 al 11,
               se propaga en todas direcciones a través del espacio   y cuanto más alto sea, mayor será la probabilidad de
               mediante ondas electromagnéticas. Esta energía, emiti-  sufrir lesiones cutáneas y oculares.
               da por la superficie solar, determina la dinámica de los   Entre otras consecuencias, aumenta las posibilidades de
               procesos atmosféricos y climatológicos. Además, es di-  sufrir quemaduras solares, envejecimiento prematuro e
               recta o indirectamente responsable de circunstancias   incluso cáncer en la piel, sobre todo en aquellas perso-
               de nuestro día a día, como la fotosíntesis de las plantas,   nas con un fototipo más claro. Por esta razón, el IUV es
               el mantenimiento de una temperatura compatible con   un elemento importante y diferencial a la hora de
               la vida y de la formación del viento.
                                                                   concienciar a la población sobre los riesgos de una ex-
               La radiación solar es imprescindible para la vida en   posición excesiva, al advertir sobre la inminente necesi-
               la  Tierra, pero también tiene efectos negativos para   dad de adoptar medidas de protección que reduzcan al
               el ser humano, como los daños que provoca en la piel.  mínimo los riesgos. Entre ellas, se destacan: reducir la
                                                                   exposición al sol en las horas centrales del día y, en caso
               La radiación solar se mide en superficie horizontal me-
               diante un sensor de radiación o piranómetro, que se si-  de no poderlo evitar, buscar las sombras y beber mucha
               túa orientado al sur y en un lugar libre de sombras. Los   agua. Usar prendas de protección, como sombreros, go-
               datos se recogen en unidades de potencia, vatios por   rras o sombrillas, para resguardar ojos, cara y cuello, y
               metro cuadrado (W/m2).                              prendas ligeras. Usar gafas de sol de calidad, es decir, co-
                                                                   rrectamente homologadas, y, si es posible, con un dise-
               El ser humano está expuesto a la radiación UV, espe-  ño envolvente o con paneles laterales. Usar crema de
               cialmente a la UVA y la UVB, que puede ser peligrosa   protección solar con un factor superior a 15”.
               para su piel. Una de las formas que tiene para medir las    Fuente: Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios
               consecuencias negativas que tiene este tipo de radia-    Ambientales (Ideam). (s.f.). Radiación solar. Ideam - Gobierno
               ción sobre las personas es el índice UV solar mundial   de Colombia. http://www.ideam.gov.co/web/tiempo-y-clima/
                                                                                               radiacion-solar-ultravioleta

               184   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   184                                                                        22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   184]]></page><page Index="31"><![CDATA[ó

                    1.  ¿Cuál es el tema principal de la lectura?

                       _______________________________________________________________________
                       _______________________________________________________________________                            ©Shutterstock
                    2. ¿Cómo se propaga la radiación solar?
                       _______________________________________________________________________
                       _______________________________________________________________________

                    3. Menciona  dos efectos de la radiación solar sobre nuestro planeta
                       e indica cuál consideras que es más importante. Justifi ca.

                       •   ____________________________________________________________________________________
                       •   ____________________________________________________________________________________
                    4. ¿Por qué la radiación solar puede ser nociva para los seres humanos?

                       ___________________________________________________________________________________________________________
                    5.   Indica al menos tres medidas de prevención que se deben tomar para evitar daños en la piel causados por la
                       radiación solar.
                       •   ____________________________________________________________________________________
                       •   ____________________________________________________________________________________
                       •   ____________________________________________________________________________________







                    Actividad personal
                    1.  Investiga acerca de la radiación solar y los rayos UV, así como los factores de protección de los bloqueadores
                       solares. Haz un informe con cuadros explicativos.
                    2.  Ingresa a Internet y busca imágenes sobre el tema. Realiza un collage con estas imágenes.
                    3.  Elabora una infografía sobre cómo debemos protegernos de la radiación solar. Expón tu trabajo en clase.



                    Actividad colaborativa

                    1.  Formen grupos y utilicen las TIC de su preferencia                                              ©Freepik
                       para desarrollar la siguiente tarea: crear una infogra-
                       fía digital que resuma la lectura anterior.
                       Presenten su trabajo ante el resto de la clase.
                       Tomen en cuenta las siguientes recomendaciones:

                       •   Debe haber un organizador gráfico.
                       •   Hay que incluir imágenes.
                       •   Los textos deben ser sintéticos y precisos.
                       •   Hay que citar las fuentes de donde se obtuvie-
                          ron textos e imágenes.




                                                                                                      Matemática  185
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   185                                                                        22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   185]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión





               1.   Halla la distancia entre los puntos O y M.           sita para cercarlo?, ¿cuántos metros cuadrados
                                                                         de césped necesita?
                          N                    O

                                               6 cm

                         M                     P
                                   10 cm







               2.   Halla el perímetro del siguiente triángulo.       b)  El perímetro de un triángulo isósceles es de
                                                                         75 dm. Si el lado desigual mide 28 dm, ¿cuánto
                              D
                                                                         miden los lados iguales? Realiza un dibujo.
                                         8,5 m
                      5 m      h


                   A    3 m    B                         C



                                                                   5.   Completa la siguiente información de cada
                                                                      polígono.
                  a) 16,5 cm b) 21,5 cm c) 24 cm   d) 20,5 cm         a)

               3.  La diagonal del trapecio mide:
                                                                                      4 m
                                     6 cm
                              F                E
                                                                                               4 m
                                   d
                        6 cm                 h     6 cm
                                                                      Perímetro:  ___________ Ángulo central:  _______
                       F                             D                Apotema:   ___________ Ángulo interno:  _______
                           2 cm  E           C  2 cm
                                     10 cm                            Área:  _______________ Ángulo externo: _______


                                                                      b)


                  a) 5,65 cm b) 6,75 cm c) 9,8 cm    d) 8,9 cm
                                                                                     7,84 m

               4.  Resuelve los siguientes problemas:                                         6 m
                  a)  Carlos  quiere cercar su terreno cuadrangular     Perímetro:  ___________ Ángulo central:  _______
                      y colocar césped en la mitad. Para ello, traza
                      una diagonal que divide su terreno en dos par-  Apotema:   ___________ Ángulo interno:  _______
                      tes. Si el perímetro del cuadrado es 56 m y su
                      diagonal mide 19,8 m, ¿cuánto alambre nece-     Área:  _______________ Ángulo externo: _______



               186   Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   186                                                                        22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   186]]></page><page Index="33"><![CDATA[c)                                            b)                Prisma triangular
                                                                                 Forma               Desarrollo

                                        6,8 cm

                                                 8 cm                                                                 ©Shutterstock

                       Perímetro:  ___________ Ángulo central:  _______
                       Apotema:   ___________ Ángulo interno:  _______

                       Área:  _______________ Ángulo externo: _______         caras         aristas       vértices

                    6.   Halla el área del siguiente polígono por dos mé-
                       todos diferentes.                             c)                  Dodecaedro
                       a)                18 cm                                   Forma               Desarrollo



                                      15 cm
                                                                                                                      ©Shutterstock
                                    15 cm
                                          26 cm

                    7.   Escribe el número de caras, aristas y vértices de
                       los siguientes sólidos geométricos.                    caras         aristas       vértices

                    a)                  Tetraedro
                               Forma               Desarrollo
                                                                         Coevaluación
                      ©Shutterstock                                  Trabajen en parejas y resuelvan.

                                                                     8.  El área del polígono irregular de la figura es:

                                                                                                  a) 4123
                                                                                                       +

                                                                        2m                        b) 63

                            caras         aristas       vértices
                                                                                                  c) 46 3
                                                                                                       +

                                                                                                  d)  4
                    Metacognición para aprender a aprender        Responde en forma oral o escrita.

                                                               Contenido
                   ¿Cómo utilizas el teorema de Pitágoras en situaciones del mundo real?

                   ¿Qué estrategias utilizas para recordar y aplicar el teorema de Pitágoras?

                   Cuando cometes errores al clasificar polígonos, ¿cómo identificas y corriges esos errores?

                   ¿Cómo aplicas el conocimiento sobre el área de polígonos en contextos del mundo real?

                   ¿Cómo aplicas lo aprendido sobre sólidos geométricos en otras áreas del conocimiento?

                   ¿Cómo evalúas tu nivel de comprensión de los sólidos geométricos?


                                                                                                      Matemática  187
                                                                                                          9.º EGB





         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   187                                                                        22/11/24   14:50
                                                                                                                    22/11/24   14:50
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   187]]></page><page Index="34"/></pages></Search>
