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<Search><pages Count="34"><page Index="1"><![CDATA[10




                                                                                                                            EGB
                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                         10    EGB
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                            Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                           Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                              Geometría y medida (II)








                      En esta unidad abordaremos la congruencia y semejanza de triángulos, conceptos que se utilizan para
                      comparar y relacionar triángulos basándonos en sus propiedades geométricas. La congruencia se refiere

                      a la igualdad en forma y tamaño de dos triángulos, mientras que la semejanza considera la similitud en
                      forma, pero no necesariamente en tamaño.
                      Las formas triangulares las encontramos en todas partes; en la naturaleza, por ejemplo, y se producen

                      debido a factores como la geometría eficiente, la distribución de fuerzas y la adaptación al hábitat.
                       Observa y recuerda

                      •  ¿Qué se observa en la fotografía? Determina formas, colores, elementos.
                      •  ¿Qué formas geométricas distingues?





















































               164   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   164                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   164]]></page><page Index="3"><![CDATA[©shutterstock

















                                                                                                   Vista desde el mirador
                                                                                                   Descanso del Diablo, en
                                                                                                   la Nariz del Diablo,
                                                                                                   Chimborazo.







































                  ¿Qué aprenderemos?

                                                Congruencia y semejanza de triángulo



                         Congruencia de triángulos. Teoremas.                     Razones trigonométricas.



                      Triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras.


                          Semejanza de triángulos. Teoremas.



                                                                                                      Matemática  165
                                                                                                         10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   165                                                                       22/11/24   17:01
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   165]]></page><page Index="4"><![CDATA[¡Los amo a todos!


                                                                                                                    ©Freepik










                          1.  En esta unidad aprenderemos
                              algo más sobre los triángulos,
                              su congruencia y semejanza.
                                                                         Triángulo amoroso
                                                                         T riángulo amoroso



                                                      2.  Identificaremos los postulados
                                                          de congruencia y semejanza de
                ©Shutterstock                             triángulos y sabremos diferenciar                         ©Shutterstock
                                                          estos dos términos.

                                                                                                       ¡Somos
                                                                                                    semejantes!




















                                                                                           Triángulos unidos
                                                                                                  contra            ©Shutterstock

                                                                       ¡Basta ya!            la desigualdad
                                                                          ¡No +
                                                                       diferencias!








                  3.  Conoceremos algunos teoremas
                      fundamentales sobre triángulos
                      y realizaremos demostraciones.





               166
               166   Matemática
                     10.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   166                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   166]]></page><page Index="5"><![CDATA[Hipotenusa                                      ©Shutterstock






                                                                                                           Opuesto








                            4.  Aprenderemos a aplicar                        x     Adyacente
                                el famoso teorema
                                de Pitágoras en
                                situaciones reales.

                                                                   ¿Es usted el padre?                   Sí, doctor,
                                                                                                        ¿cómo nació?

                                                                                                                       ©Freepik







                                                                 Su hijo tiene un problema:            ¡Oh, no!
                                                                              2
                                                                 su hipotenusa  es menor a      ¡Me salió un fenómeno!
                                                                  la suma de sus catetos .
                                                                                       2











                                                                      Tú, queriendo medir la hipotenusa
                                                                                   con una regla.                      ©Shutterstock







                              5.  Finalmente, conoceremos las
                                  razones trigonométricas en
                                  triángulos rectángulos y las
                                  aplicaremos en la solución de                                         Pitágoras
                    ©Shutterstock  problemas.                                                           viéndote
                                                                                                        desde el
                                                                                                          cielo.



                                                                                                                 167
                                                                                                      Matemática  167
                                                                                                         10.º EGB




         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   167
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   167                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="6"><![CDATA[Congruencia de triángulos.


                                         Teoremas



               DUA. Representación

                                         La congruencia de triángulos se refiere a la igualdad en tamaño y forma de dos
                       Comunicacional
                                         triángulos.  Dos  triángulos  son  congruentes  si  tienen  exactamente  los  mismos
                                         ángulos y sus lados tienen la misma longitud. Así, si se superponen, coinciden
                     La congruencia en
               geometría indica que dos   completamente.
                   objetos o figuras son   En una actividad, la profesora de Matemática les pide a sus estudiantes analizar el
                     iguales en forma y   gráfico de la izquierda y les hace la siguiente pregunta: ¿cómo se puede saber si los
                tamaño, su símbolo es: ≅  triángulos 1 y 2 son congruentes?
                   Para denotar que dos
                         triángulos son   Los postulados de la congruencia de triángulos son:
                 congruentes, se escribe:  Lado – ángulo – lado L.A.L.
                         ΔABC ≅ ΔDEF
                                         Dos triángulos son congruentes si sus dos lados y el ángulo determinado entre ellos
                                         son respectivamente congruentes.
                                                      B                  E
               ©Shutterstock  1  2                                                    A ≅ D ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF
                                                                                      AB ≅ DE


                                                A               C  D               F       AC ≅ DF
                                         Ángulo – lado – ángulo A.L.A.
                          Matemática     Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos
                                         respectivamente congruentes.
                   Esta es la clasificación
                       de los triángulos              B                  E
                       según sus lados:                                               A ≅ D
                           Equilátero:                                                AC ≅ DF  ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF
                      Los tres lados son        A               C  D               F      C ≅ F
                   congruentes. Sus tres
               ángulos son iguales a 60 º.  Lado – lado – lado L.L.L.
                                         Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
                                                      B                  E
                                                                                       AB ≅ DE
                                                                                      BC ≅ EF  ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF
                            Isósceles:                                                AC ≅ DF
                 Exactamente dos de sus         A               C  D               F
                  lados son congruentes.
                 Dos de sus ángulos son   Dos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma
                          congruentes.    medida, y sus lados homólogos miden lo mismo.
                                         A continuación, resolveremos la pregunta planteada anteriormente.
                                         Utilizando los postulados de congruencia de triángulos, podemos conocer si los
                                         triángulos 1 y 2 son congruentes.
                            Escaleno:    Los lados congruentes son: Los ángulos congruentes son:
                   Ninguno de sus lados
                                            ≅
                    son iguales. Sus tres   AB DE                    A  ≅ D             B                E
                  ángulos son diferentes.                            B
                                                                      ≅ E
                                         BC ≅ EF                                        1                2
                                                                      ≅ F
                                         AC ≅ DF                     C            A              C  D             F
                                         Por lo tanto, los triángulos 1 y 2 son congruentes.


               168   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   168
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   168                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="7"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos                                                                              Matemática
                  a)  En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles (AC = BC) y se ha dividido su base
                     AB en cuatro partes iguales.                                                Estos son los postulados
                                                                                                 de congruencia para
                                                                          A
                                                                                                 triángulos rectángulos:
                                                                E
                                                                                                 •  Dos triángulos
                                                      D                                           rectángulos son
                                                                                                  congruentes si tienen los
                                             F
                                                                                                  catetos respectivamente
                                                                                                  congruentes.
                                   B
                                                                                                 •  Dos triángulos
                                                                                                  rectángulos son
                                                                                                  congruentes si tienen la
                                                                                                  hipotenusa y un ángulo
                                                                                                  agudo respectivamente
                                                               C                                  congruente.
                     ¿Son congruentes los triángulos ΔACE y ΔFCB? Demostrar.                     •  Dos triángulos
                                                                                                  rectángulos son
                                                                                                  congruentes si tienen un
                                                 Demostración                                     cateto y un ángulo
                                                                                                  agudo respectivamente
                                   Enunciados                   Razones
                                                                                                  congruente.
                            1.  AC CB≅                Hipótesis                                  •  Dos triángulos
                                                                                                  rectángulos son
                            2.    A ≅  B            Propiedad del triángulo isósceles           congruentes si tienen la
                                                                                                  hipotenusa y un cateto

                            3.  AE FB≅                Propiedad reflexiva                         respectivamente
                                                                                                  congruentes.
                            4.  ACE   CFB             L.A.L.
                     Conclusión: los triángulos ΔACE y ΔFCB son congruentes por L.A.L.
                                                                                                         Socioemocional
                  b)  En la figura se conoce que AE ≅ BE y AF ≅ BF, se pide demostrar que  AC ≅ BC
                                                                                                 Si reconoces y manejas
                                                                                                 tus emociones, puedes
                                                 Demostración                                    mejorar tu
                                                                                                 autoconocimiento y
                            Enunciados                      Razones
                                                                                                 autocontrol, que son
                         1. AE ≅ BE,                                                             esenciales para
                                          Hipótesis                                              interactuar efectivamente
                            AF ≅ BF                                                              con otros.


                         2. EF ≅ EF       Propiedad reflexiva
                                                                                                          A
                         3. ΔAEF ≅ ΔBEF   L.L.L.

                         4. AFE ≅ BFE   Ángulos correspondientes de triángulos congruentes

                         5. CF ≅ CF       Propiedad reflexiva                                                F
                                                                                                      E
                         6. ΔACF ≅ ΔBCF   L.A.L.

                         7. AC ≅ BC       Lados correspondientes de triángulos congruentes     C                       B





                                                                                                      Matemática  169
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   169
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   169                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Analiza cada proposición y determina verdadero   2.  Responde. ¿Qué postulado de congruencia de
                   (V) o falso (F), según corresponda.                triángulos puedes utilizar para demostrar que los
                                                                      triángulos  ABD y  A DC   son congruentes?
                   a)  El triángulo isósceles tiene sus tres ángulos      Considera que  ABC  es isósceles y  AD  divide en
                      de la misma medida.                ( ____ )
                                                                      dos partes iguales al ladoBC .
                   b)  El triángulo equilátero está formado por tres
                      lados del mismo tamaño.            ( ____ )            A
                   c)  Uno de los postulados de congruencia es L.A.L.
                                                         ( ____ )
                   d)  La congruencia de dos triángulos se puede de-  B             C
                      mostrar con A.A.A.                 ( ____ )            D
                   e)  El triángulo escaleno tiene sus tres lados     3.  Resuelve:  AB≅EF,  DB≅LF,  AC≅  EH,  AC y  EH son
                      iguales como sus tres ángulos de la misma       medianas.
                      medida.                            ( ____ )     Demuestra en tu cuaderno que: ΔLEF ≅ ΔABD

                   f)  Todos los triángulos equiláteros con igual base
                      son congruentes.                   ( ____ )              D                 L

                               C                 C'                                 C                 H


                                                                          A             B   E              F

                                                                   4.  Demuestra la congruencia de los siguientes
                         A      l    B     A'     l     B'            triángulos:  RT  biseca a los ángulos   QRS y  QTS.

                   g)  Todos los triángulos isósceles con igual base (lado      Demuestra en tu cuaderno que:  RTQ    RTS
                      diferente a los demás) son congruentes.  ( ____ )              Q

                                Triángulos isósceles
                                  C                                           R                       T
                                               C'

                                                                                     S
                                                                   5.  Observa y  completa las congruencias de lados
                                                                      y ángulos de acuerdo con las siguientes figuras:
                            A    l     B  A'    l    B'
                                                                          F               U
                                                                          131º       G        38º
                   h)  Todos los triángulos rectángulos con iguales
                      catetos son congruentes.           ( ____ )                                S        12º  P

                            B   Triángulos rectángulos  A'            15º       T 131º    J
                                                                     E
                                                                                                 T
                                                                                                          12º  F
                                                                             15º
                                                                                              38º
                           C            A  B'        C'                   R               B





               170   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   170
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   170                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="9"><![CDATA[a)  RT ≅ ________   f)   R  ≅ ________
                      b)  GF ≅ ________   g)   T  ≅ ________

                      c)  US ≅ ________   h)   P  ≅ ________

                      d)  FT ≅ ________   i)   S  ≅ ________
                                                                     8.  En el siguiente triángulo, AE ≅ BD , demuestra que
                      e)  PU ≅ ________   j)   U ≅ ________
                                                                         AC  ≅ BC.
                                                                                 C
                  6.  Responde: ¿qué valores toman las incógnitas x, y si
                      se conoce que  DCA    CEB ?
                              C                                            D          E



                      2x+7          3y–6                               A                   B

                                                                     Actividad cooperativa
                   B                    A                            Trabajen en equipo y resuelvan.
                       3 x  E   D   x+8                              9.  Calculen los valores de  x,  y, sabiendo que los
                  7.  Demuestra la congruencia de los siguientes         triángulos ABC ≅  ADC.
                      triángulos: en la figura AE y BD se bisecan,   1≅  2        B
                      a)  Demuestra que:  ABC     EDC

                                A                                         C   y – 6º           26º
                                                        D                      42º            x+20º      A

                                       1         2
                                            C
                                                                                    D
                              B                       E
                                                                     10. Hallen el valor de x.

                                                                                20º               36º

                                                                                    5x



                      b)  Demuestra que: el  ABC   ADE .
                         En los triángulos las partes congruentes están
                         marcadas:

                                 B             B                     Indaguemos
                                     D                               11. Indaga y encuentra el valor de α, si BP ≅  BC .
                                                                                           B
                                           A             A
                                   C              C
                             E                                                          α
                                           D                                              50º–α


                                                 A
                                                                                            50º+α
                                    E                                        A         P             C


                                                                                                      Matemática  171
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   171                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   171]]></page><page Index="10"><![CDATA[Semejanzas de triángulos.


                                         Teoremas



               DUA. Representación

                                         La semejanza de triángulos describe la relación entre dos
                       Comunicacional    triángulos  que tienen  la misma  forma, pero tamaños                        ©Shutterstock
                                         diferentes.
                         El símbolo de
                       semejanza es ∼:   Dos triángulos son semejantes si tienen  sus ángulos
                   Para denotar que dos   correspondientes congruentes (iguales) y sus lados
                         triángulos son   correspondientes son proporcionales;  es decir, uno de los
                  semejantes se escribe:  triángulos es la escala del otro, sin cambiar su forma.  Triángulos semejantes.
                         ABC    DEF
                                         Criterios de semejanza de triángulos
                          Matemática
                                         Teorema: ángulo – ángulo A.A.

                   Esta es la clasificación   Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes congruentes, entonces, el
                       de los triángulos   tercero también será congruente. Por lo tanto, los triángulos son semejantes.
                     según sus ángulos:
                 Triángulo acutángulo:                                         B                   E
                      todos sus ángulos
                          son agudos.         A   ≅  ;.... C  ≅ D    F
                                                       
                            A
                                                                         A                C  D             F
                                                                                     Δ       ΔABC   DEF

                                         Teorema: lado – ángulo – lado L.A.L.
                 B                C
                                         Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente congruente,
                Triángulo obtusángulo:   comprendido entre dos lados proporcionales.
                 tiene un ángulo obtuso.
                A                                                                                E
                                                                            B
                                                        AB   AC
                                              A ≅ D .. ..  =
                                                     y
                                                 
                     B            C                    DE    DF
                                                                      A               C   D                   F
                 Triángulo rectángulo:                                            Δ       ΔABC   DEF
                    está formado por un
                     ángulo recto y dos   Teorema: lado – lado – lado L.L.L.
                       ángulos agudos.
                 A                       Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente
                                         proporcionales.
                                                                            B                      E

                 B               C              AB   AC  BC
                                                   =    =
                 Triángulo equiángulo:          DE  DF    EF
                      todos sus ángulos                              A                   C D                   F
                      son congruentes.                                              Δ      ΔABC   DEF
                         A
                         60º              Dos triángulos son semejantes si cumplen dos condiciones:
                                          a)  Todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes.
                                          b) Todos los pares de lados correspondientes son proporcionales.
                  B  60º    60º  C


               172   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   172                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   172]]></page><page Index="11"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos                                                                           Seguridad vial
                  a) Un triángulo tiene dos lados de longitud 6 cm y 4 cm, y el ángulo comprendido
                     entre ellos es de 60°. Otro triángulo tiene lados de 3 cm y 2 cm, además, el ángulo   Caminar o viajar en
                     entre ellos dos es de 60°. ¿Son triángulos semejantes? ¿Cuál es la razón de   bicicleta son formas
                     semejanza?                                                                  saludables de movilidad,
                                                                                                 pues no emiten gases
                     Utilizando los postulados de semejanza de triángulos, podemos conocer si los   contaminantes y reducen
                     triángulos 1 y 2 son semejantes.                                            la congestión del tráfico.

                                                       AB   AC
                     Aplicando el teorema L.A.L., tenemos:   =   y    A  ≅  D
                                                       DE   DF                                      B
                     Reemplazamos los valores para encontrar la razón de semejanza:
                                                                                                                 E
                      AB   AC   6   4                                                          6 cm
                         =    →   = ;  k  = 2                                                       1       3 cm
                     DE   DF    3   2                                                            60           60  2
                                                                                               A   4 cm  C  D  2 cm  F
                       Conclusión: la razón de semejanza es 2, es decir, los lados correspondientes de
                     los dos triángulos son proporcionales y los ángulos A y D, miden 60°. Por lo tanto,
                     se cumple el teorema L.A.L. Los dos triángulos son semejantes.
                                                                                                        Matemática

                                                
                  b) En la figura, se conoce que  AB DE, demuestra que:  ABC  C D E .            Razón
                                                                                                 Es el cociente entre dos
                                       Demostración                         A              B     números o dos
                        Enunciados               Razones                                         cantidades comparables
                           
                      1.  AB DE       Hipótesis                                                  entre sí, y se expresa
                                                                                                 como fracción.
                                      Si dos rectas paralelas se cortan por   1
                      2.  B   D       una transversal, los ángulos alternos   2  C               a →  antecedente
                                      internos son congruentes.                                  b →  consecuente
                                      Los ángulos opuestos por el vértice   D  E                 Los términos de una
                      3.  1   2       son congruentes.                                           razón se llaman:

                      4.  ABC   EDC   Criterio A.A.                                              antecedente y
                                                                                                 consecuente.
                     Conclusión: los triángulos  ABC  EDC  son semejantes por A. A.              El antecedente es el
                                                                                                 dividendo y el
                  c) Con los datos proporcionados en la figura, halla las longitudes de los lados   consecuente es el divisor.
                     AB y BD .                                                                   Proporción
                                                                                                 Proporción es una
                     A ≅ BED y B ≅ B entonces  ΔBDE ∼ ΔBCA por A.A.                          igualdad entre dos
                     Luego, los lados proporcionales son:        B                               razones.
                                                                    2                            a   c
                     AB   BC   AC                                      E                           =
                         =    =                                                                  b   d
                     BE   BD   DE
                                                            D     4          7                   Constante de
                     Reemplazamos los datos:                                                     proporcionalidad o
                                                                                                 razón de semejanza
                     AB    9   12                         A                        C             Es el cociente entre el
                         =    =    con lo que                         12
                      2   BD    4                                                                antecedente y el
                                                                                                 consecuente de cualquier
                     AB = 6;  BD = 3                                                             razón de una proporción.
                                                                                                 a   c  e
                                                                                                   =   =  = k
                                                                                                 b   d  f


                                                                                                      Matemática  173
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   173                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   173]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Analiza cada proposición y escribe verdadero (V)   4.  En el siguiente triángulo,  AB es paralela con  DE .
                   o falso (F), según corresponda.                    Halla las medidas de los segmentos BC  y DE .
                                                                                             4
                   a)  Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos           A                  B
                      correspondientes son proporcionales.   ( ____ )                  3
                                                                                              C
                   b)  Uno de los teoremas de criterio de semejanza
                      de triángulos es A.L.A.            ( ____ )                    6            4
                   c)  La semejanza de dos triángulos se puede               D                          E
                      demostrar con L.L.L.               ( ____ )
                                                                   5.  Dado  GHI ,  construye  un  triángulo  semejante,
                   d)  El triángulo rectángulo está formado por un     sabiendo que la razón de semejanza o constante
                                                                                           1
                      ángulo de 90º.                     ( ____ )     de proporcionalidad es —.
                                                                                       I   2
                   e)  Dos triángulos son semejantes si todos los
                      pares de lados correspondientes son propor-
                      cionales.                          ( ____ )


               2.  Analiza y  responde. ¿Qué criterio de semejanza                  32       37
                   de triángulos puedes utilizar para demostrar que
                   los triángulos  DEF  y  ABC  son semejantes?

                                    F                                                G             H
                                                        C                                   19
                                                                   6.  Problema-decisión. Resuelve el siguiente
                                     60º                60º
                   E   30º                D  B    30º       A         problema:
                   _________________________________________________  Un poste eléctrico proyecta una sombra de
                                                                      12 metros en un momento determinado
               3.  Dado  A     F  y  B   E  en la siguiente figura,   del día. Al mismo tiempo, un florero de 25
                   halla las medidas respectivas de d y e.            centímetros de alto proyecta una sombra de
                   B                                  F               5 centímetros. Determina la altura del poste
                                                                      eléctrico.
                                            d
                                                         e            Si ves que un poste con riesgo de caer está ubicado
                             4       E                                cerca del colegio, ¿qué harías para evitar que cause
                     3                           5         D          daños a las personas?



                        A     2     C








                                                                                               25 cm

                                                                            12 m sombra               5 cm sombra





               174   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   174                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   174]]></page><page Index="13"><![CDATA[7.  Encuentra la solución del siguiente problema.  Actividad cooperativa
                      Un triángulo tiene como medidas de sus lados 6,4 m,   Trabajen en equipo y resuelvan.
                      6 m y 5 m, mientras que otro triángulo tiene como   11. Dibujen dos triángulos semejantes   QRO  y
                      medidas 3,2 m, 3 m y 2,5 m. ¿Cuál es la razón de    DEO , opuestos por el vértice O, con D-O-Q y
                      semejanza?                                         E-O-R puntos colineales.

                                                                         DE = 6 m, OQ  = 20 m, DO = 10 m, QR  = 12 m,
                                                                         OR  = 14 m, EO  = 7 m.
                                                                         Establezcan  las respectivas correspondencias

                  8.  Resuelve. Si  ABC   DEF, la longitud del lado EF   entre los lados y los ángulos homólogos y hallen la
                      es el triple del lado  BC, ¿qué longitudes tienen los   razón de semejanza entre los dos triángulos.
                      lados respectivos de  DEF ?
                                                                     12. Los lados del   ABC  miden respectivamente:
                                                 E
                            B                                            a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm; los lados del  DEF
                                                                         miden respectivamente:  d = 8  cm,  e = 12  cm,
                         5       7
                                                                         f = 16 cm. Resuelvan:
                       A     8      C
                                                                         a)  Los dos triángulos son semejantes, establezcan
                                                                            la relación de proporcionalidad.
                                          D                   F
                                                                         b)  Hallen los perímetros de ambos triángulos.
                                                                         c)  Hallen la razón de los perímetros.
                                                                         d)  Encuentren las áreas de los triángulos y

                  9.  Emplea los criterios de semejanza y determina la      encuentren su razón.
                      solución del problema.
                      Un  triángulo tiene dos lados de longitud 10  cm      _____________________________________________
                      y 6  cm y el ángulo comprendido entre ellos de
                         º
                      100 . Otro triángulo tiene lados de 5 cm y 3 cm y el   13. Resuelvan los siguientes problemas:
                                                  º
                      ángulo entre ellos dos es de 100 . ¿Cuál es la razón   a)  Un  terreno  mide  144  metros  cuadrados  de
                      de semejanza, si existe?                              área. Otro terreno semejante es 10 veces más
                                                                            grande en cuanto a su área. ¿Cuánto mide el
                                                                            área grande?

                                                                         b)  Una torre proyecta una sombra de 79,42 metros,
                  10. De la siguiente figura se conoce que: N es punto      y un poste que mide 3,05 metros proyecta una
                                                                            sombra de 5,62 metros. ¿Cuánto mide la torre?
                      medio de  MP , Q es punto medio de  PR ,  NQ  y

                      MR  son rectas paralelas. Demuestra  que los   Indaguemos
                      triángulos NPQ y MSR son semejantes.           14. Determina si los siguientes triángulos son
                                                                         semejantes. Justifica tu respuesta.
                             M             N             P

                                                                              17, 5 cm
                                                          Q


                             S                            R                                            7 cm
                                                                              65º                      65º
                                                                                    20 cm                 8 cm

                                                                     15. Construye figuras con el recortable de la página
                                                                         223.


                                                                                                      Matemática  175
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   175
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   175                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="14"><![CDATA[DUA
                    í      É                                                                   Participación




                 La democracia en mi institución



               La democracia no es solo un
               sistema de gobierno, sino
               que es un concepto que se                                                                               ©Shutterstock
               aplica en las instituciones
               educativas en donde desem-
               peña un papel importante,
               ya que a través de ella se fo-
               menta la participación activa
               de los estudiantes, se educa
               en valores cívicos y se prepa-
               ra a los futuros ciudadanos
               para     una      sociedad
               democrática.
               La democracia en una institu-
               ción educativa se manifiesta
               de diversas maneras: en el
               respeto de los puntos de vis-
               ta y opiniones de los demás;
               en el impulso de la inclusión,
               la diversidad y la igualdad; en
               los gobiernos estudiantiles
               donde los estudiantes se ex-
               presan, son escuchados y to-
               man     decisiones   sobre
               asuntos escolares.            Las votaciones son un símbolo de la democracia

               En el aula, los estudiantes deben aprender sobre los principios de la democracia,
               los  derechos  y  responsabilidades  ciudadanas  y  cómo  funcionan  los  sistemas      Ética e integridad
               democráticos. Por ejemplo, en las votaciones de nuestro sistema se aplica la mayoría
               absoluta, en la que el candidato o la opción necesitan obtener más del 50% de los   La relación entre ética
               votos totales para ser declarados ganadores. Si ningún candidato alcanza la mayoría   y democracia es
               absoluta, puede haber una segunda vuelta entre los dos candidatos más votados.  fundamental, ya que
                                                                                              la ética proporciona el
               Un aspecto importante que se debe considerar en un proceso electoral es el     marco moral necesario
               porcentaje de votos válidos, que es fundamental para determinar si una elección es   para el funcionamiento
               legítima y refleja la voluntad de los votantes.                                efectivo de una
                                                                                              democracia.
                                                     Nº de votos válidos
                        Porcentaje de votos válidos =                     × 100%
                                                  Nº total de votos emitidos

                 Investigo


                 Averigua: ¿cómo se decidirían las elecciones si los votos nulos alcanzan más del 50%
                 de los votos?


               176   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   176                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   176]]></page><page Index="15"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información presentada, responde las preguntas.

                  1.  ¿Cuál es uno de los aspectos en los que la democracia se aplica en las instituciones
                      educativas?

                      a)  Toma de decisiones.
                      b)  Competencia académica.
                      c)  Pases de año.

                      d)  Uniformidad de pensamiento.

                  2.  ¿Qué se fomenta a través de la democracia en las instituciones educativas?
                      a)  Conformidad absoluta.

                      b)  Participación activa de los estudiantes.
                      c)  Exclusión de opiniones diferentes.

                      d)  Más equipos de fútbol.

                  3.  ¿Qué deben aprender los estudiantes en las aulas sobre la democracia?
                      a)  Uso de las TIC.

                      b)  Partidismo político.
                      c)  Principios democráticos, derechos y responsabilidades ciudadanas, y
                         cómo funcionan los sistemas democráticos.
                      d)  Pases de año para todos.
                                                                                                                        ©Shutterstock

                  4.  ¿Qué es la mayoría absoluta en un sistema de votación?
                      a)  Obtener más del 50% de los votos totales.

                      b)  Obtener más del 50% de los votos válidos.
                      c)  Obtener exactamente el 50% de los votos totales.
                      d)  Obtener más votación que todos los demás candidatos.


                  5.  Tres candidatos en una elección popular han obtenido los siguientes votos:
                      A = 200 000; B = 600 000; C = 400 000, aparte se contabilizaron 20 000 votos nulos
                      y 30 000 votos blancos.
                      Responde:
                      a)  ¿Habrá segunda vuelta?, ¿por qué?

                         __________________________________________________________________________
                         __________________________________________________________________________
                      b)  ¿Cuál es el porcentaje de la votación de cada candidato?
                         __________________________________________________________________________

                      c)  ¿Cuál es el porcentaje de votos válidos?
                         __________________________________________________________________________


                                                                                                      Matemática  177
                                                                                                         10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   177
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   177                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="16"><![CDATA[Triángulo rectángulo.


                                         Teorema de Pitágoras



               DUA. Representación

                                         El teorema de Pitágoras es un concepto esencial en geometría: establece la relación
                                         que existe entre los lados de los triángulos rectángulos.

                                         Este teorema tiene múltiples aplicaciones en diversas áreas, como la geometría, la
                         125 m           física, la ingeniería, la arquitectura, las artes, la navegación, entre otras.
               ©Shutterstock         a   Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto y dos agudos. Los lados
                                         que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado más grande del triángulo es la
                                         hipotenusa y se opone al ángulo recto.

                      150 m              En un colegio, la cancha de fútbol mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus
                                         diagonales es de 150 metros, ¿cuál es el ancho de la cancha?
                          b
                                         Podemos observar que la diagonal de la cancha forma un triángulo rectángulo,
                                         donde el largo es uno de los catetos y la diagonal es la hipotenusa. Para hallar el
                                         ancho, tendremos que encontrar la medida del otro cateto mediante el teorema de
                                         Pitágoras.

                                          Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
                 Interdisciplinariedad    hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada cateto.
                                                                        c 2 = a 2 + b 2
                Matemática y Medicina
                 Si queremos determinar
                  la distancia de un pico                 5
                  que mide la frecuencia        5                 4                     c2   = a2  + b2
                 cardíaca un uso sencillo            25
                del teorema de Pitágoras                        16                          c2 = a2 + b2
                      nos puede ser de                    c  b         4
                        mucha utilidad.                                                  a y b son catetos,
                                                          a
                ¿En qué carrera profesional                                              c es la hipotenusa.
                crees tú que emplean más                  3 9  3
                 el teorema de Pitágoras?                                        Siempre se cumple que c > a y c > b.
                                                          3
                                         A partir de la fórmula del teorema de Pitágoras, despejamos para obtener las fórmulas
                                         que permiten el cálculo de los catetos.

                                               Para encontrar la hipotenusa          Para encontrar los catetos
                          Socioemocional                                       Un cateto es igual a la raíz cuadrada del cua-
                                          La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de   drado de la hipotenusa menos el cuadrado
               La base para tener buenas   la suma de los catetos elevados al cuadrado.  del otro cateto.  a  = c 2  −b 2
               relaciones interpersonales             c = a 2  + b 2                 a  = c 2  −b 2  b = c 2 − a 2
                   esta en reconocer las
                                                                                          2
                                                                                              2
                emociones de los demás,   Para  resolver  el  problema  planteado  al  inicio,  es  necesario  identificar  lo  que
                                                                                           − a
                                                                                     b
                                                                                      = c
                    así como conocer y
                    manejar tus propias   deseamos hallar, en este caso, un cateto. Por lo tanto:
                           emociones.
                                                                      2
                                                                 2
                    Según tu experiencia,                a =  150 –125           a= 6 875      a = 82,91 m
                 ¿que importancia tienen
                     para ti las relaciones  Solución:
                                         El ancho de la cancha de fútbol es 82,91 metros.
               178   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   178
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   178                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="17"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos
                  a) Un edificio mide 95 metros de altura. Si un automóvil se encuentra a 300 metros                95 m
                     de la base del edificio, ¿cuál es la distancia del automóvil, medida desde lo alto   ©Shutterstock
                     del edificio?

                              Datos                 Operación               Respuesta                  300 m

                      Hipotenusa: ?           c  = a 2  +b 2         La distancia desde lo alto

                      Cateto a: 95 m                                 del edificio al automóvil es   Interdisciplinariedad
                                              c = 95 2 +300 2
                      Cateto b: 300 m                                de 314,68 m.
                                              c = 314,68 m                                       Matemática e Historia
                                                                                                 El teorema de Pitágoras
                                                                                                 tiene ese nombre porque
                  b)  Una escalera de 5 m de longitud es apoyada sobre una pared. Si la distancia entre   su demostración fue un
                     la base de la pared a la escalera es 1,4 m, ¿cuál es la altura de la pared?  esfuerzo de la escuela
                                                                                                 pitagórica. Sin embargo,
                           Datos             Gráfico         Operación         Respuesta         anteriormente, en
                                                                                                 Mesopotamia y en el
                                                                                                 antiguo Egipto, se
                      Hipotenusa: 5 m                                                            conoció que la pirámide
                                           5 m            a  = c 2  −b 2
                      Cateto a: ?                    ?                     La altura de la pared   de Kefrén se construyó
                      Cateto b: 1,4 m                     a = 5 2 −1,4 2   es de 4,8 metros.     basándose en el llamado
                                                          a = 4,8 m                              triángulo sagrado egipcio,
                                            1,4 m                                                de proporciones 3-4-5,
                                                                                                 utilizando el teorema de
                                                                                                 Pitágoras.
                  c) Encontrar el valor del dato desconocido.                                                         ©Shutterstock

                           Datos             Gráfico         Operación         Respuesta


                                                                 2
                      Hipotenusa: 6 cm  6 cm                h =  c – b 2

                                             h                             La altura de la figura
                      Cateto h: ?                           h =  6–3 2     es de 5,19 cm.
                                                                 2
                      Cateto b: 3 cm                        h = 5,19 cm
                                          3 cm
                                                                                                 Pirámide de Kefrén
                  d) Encuentra el área de la región no sombreada.
                       Observamos que la parte que no está coloreada está conformada por triángulos    Digital
                     rectángulos congruentes. Hallemos el cateto faltante.

                     h =  c − a ;... =  15 − 12 ;... h 9 cm=                                     Ingresa al siguiente
                               2
                           2
                                        2
                                             2
                                  h
                                                                            12 cm                recurso web:
                     El área del triángulo es:                                                   lynk.ec/10mt23
                        (b × h)   (12 × 9)   108                                                 Imprime los ejercicios
                     A =      ; A =      ; A =   = 54 cm2
                           2         2        2                                                  y practica el teorema
                                                                                                 de Pitágoras.
                     Multiplicando por 2, tenemos: A = 54 × 2 = 108 cm2     15 cm       18 cm
                  Solución
                                                                     h
                     El área de la región no sombreada es de 108 cm2



                                                                                                      Matemática  179
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   179                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   179]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión





               1.  Analiza cada proposición y escribe verdadero (V)   b)
                   o falso (F), según corresponda.

                   a)  Todo triángulo tiene un ángulo recto.   ( ____ )           x         4 cm
                   b)  El teorema de Pitágoras es aplicable solo en
                      triángulos rectángulos.            ( ____ )                 9 cm

                   c)  Un triángulo de lados a = 3, b = 5, c = 1 es un
                      triángulo rectángulo.              ( ____ )     c)
                   d)  El cuadrado de la hipotenusa es igual a la dife-
                      rencia de los cuadrados de los catetos.   ( ____ )   5 cm      5 cm
                                                                                  x
               2.  Encuentra el lado desconocido en los siguientes
                   triángulos rectángulos.                                      4 cm

                   a)       A
                                                                   4.  Identifica  si  x corresponde a un cateto o a la
                                                                      hipotenusa de cada triángulo rectángulo mostrado.
                       b = 18 cm   c
                                                                      Determina la longitud aproximada del lado x.
                                                                      a)
                                         B
                            C   a = 15 cm
                                                                                               90º
                                                                                   89,4427          44,7214
                   b)  C     b      A


                        a = 5 cm  c = 16 cm                                             x
                                                                      b)

                        B                                                     98,9949  90º     98,9949

                   c)                B

                                                                                        x
                         c = 25 cm
                                      a


                       A             C
                            b = 12 cm

               3.  Calcula el valor de x.                          5.  Encuentra el área de la región sombreada.

                                                                             8 cm
                   a)
                                                                                          16 cm
                       c = 6 cm  x

                                                                       8 cm                8 cm
                          a = 5 cm
                                                                                    8 cm




               180   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   180                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   180]]></page><page Index="19"><![CDATA[6. Resuelve el siguiente problema.                     c)  La  altura  de  la  Virgen  del  Panecillo  es  de
                      Una escalera de 10 m de longitud es apoyada en        41 metros. Si la distancia desde la punta de

                      el frente de un edificio, ubicando su pie a metro y   la Virgen a una persona es de 100 metros, ¿a
                      medio del edificio.                                   qué distancia está la persona de la base de la

                                                                            estatua?
                      a)  ¿Qué altura alcanzará la escalera?







                                                                     Actividad cooperativa
                      b)  Si la escalera se colocase formando un ángulo
                         de 45º con el suelo, ¿qué altura alcanzaría?  8. Trabajen en equipo y resuelvan.
                                                                         a)  Un niño observa un pájaro a lo lejos a una
                                                                            distancia de 7 metros. Si el niño se encuen-
                                                                            tra a 5 metros de la sombra proyectada
                                                                            perpendicularmente del pájaro, ¿a qué altura se
                                                                            encuentra el pájaro del suelo?
                      c) Escribe una fórmula para determinar la altura   b)  La altura de la torre Morisca ubicada en Gua-
                         alcanzada en función de la separación del pie      yaquil es de 23 metros. Si la distancia desde lo

                         de la escalera con respecto al edificio.
                                                                            alto de la torre a una persona que está toman-
                                                                            do una foto es 40 metros, ¿a qué distancia está
                                                                            la persona de la base de la torre?

                                                                         c)  Un niño eleva una cometa. La longitud de la
                                                                            piola que ha soltado mide 35 metros y la dis-

                  7. Resuelve los siguientes problemas.                     tancia horizontal de los pies del niño al punto
                                                                            que está debajo de la cometa es de 10 metros.
                      a) Un grupo de ingenieros desea conocer la altura     ¿A qué altura se encuentra la cometa?
                         de una montaña. Para esto utilizan una cinta
                         de 200 metros que colocan desde la cima de la   Indaguemos
                         montaña y la extienden totalmente hasta que   9. Indaga y resuelve.
                         toca el suelo a 60 metros del punto A, ubicado      Dos aviones salen del Aeropuerto Internacional
                         justamente debajo de la cima. ¿Cuál es la altura   José Joaquín de Olmedo. Uno se dirige hacia el
                         de la montaña?                                  norte y otro, hacia el este. Cuando se encuentran
                                                                         a 3 000 km uno del otro, uno de ellos ha recorrido
                                                                         850 km. ¿Qué distancia ha recorrido el avión que se
                                                                         dirige hacia el norte?





                      b) El  tamaño  de  las  pantallas  de  televisión  viene
                         dado por la longitud en pulgadas de la diago-
                         nal de la pantalla. Si un televisor mide 40 pulga-  n = ?         a
                         das y tiene 95 cm de base, ¿cuál será su altura?
                         Recuerda que una pulgada tiene 2,54 cm.

                                                                                        h



                                                                     10. Resuelve el laberinto de la página 227.


                                                                                                      Matemática  181
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   181
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   181                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="20"><![CDATA[DUA
                        á                                                                    Participación




               Estrategia: construir una figura



                 Brenda debe elaborar un logotipo para una empresa que tiene dos filiales.
                 Ha realizado un boceto de una circunferencia con dos cuadrados en su interior,
                 uno de lado 2 cm y otro de lado 3 cm. ¿Cuánto debe medir el diámetro de la
                 circunferencia ?



                 1.  Comprende el problema y plantea una estrategia

                    a)  ¿Qué pregunta el problema?
                        _____________________________________________________________________  Boceto del logotipo

                    b)  ¿Qué estrategia plantearías para la solución?
                        Construir una figura. Primero determinar la medida de las diagonales
                        de cada cuadrado y luego sumar estos valores.



                                                                                No
                                       ¿Tienes claras la pregunta y                    Vuelve a leer e interpretar el
                                        la estrategia de solución?                     problema.

                                                         Sí

                 2.  Aplica la estrategia y resuelve.

                    a)  Primero hallamos la medida de la diagonal de cada cuadrado, aplican-
                        do el teorema de Pitágoras.

                                                               2
                                                           2
                                       D             d =  2  + 2  =   8 =   2 cm
                             d                3
                                 2
                                                     D =
                              2          3
                    b)  Luego, sumamos las longitudes para determinar la medida del diáme-
                        tro de la circunferencia.
                        L = ______________________________


                                                                                No
                                       Tienes claro cómo obtienes                      Vuelve a leer la información
                                          los datos y el proceso.                      del problema.

                                                         Sí


                 3.  Verifica y responde la pregunta.
                                                                                                     Fin
                    La longitud del diámetro de la circunferencia es de ________________________




               182   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   182
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   182                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="21"><![CDATA[1. En un terreno rectangular se ha construido un       Si se conoce que una de sus alturas mide 78 mm.
                      camino que lo cruza en diagonal. Si las dimensiones   ¿Qué longitud tiene x?
                      del terreno son 3 hm y 1,5 hm, ¿qué longitud tiene
                      el camino?







                                                                     6.  Se desea colocar un cable desde lo alto de una torre
                                                                         de 25 metros de altura hasta un punto situado a 50
                  2.  Obtén la fórmula que exprese el valor de la altura h   metros de su base. ¿Cuál es la longitud del cable?
                      de un triángulo equilátero, en función del valor de su
                      lado a. Calcula la altura de un triángulo equilátero de
                      6 cm de lado.






                                                                     7. Calculael área de una mesa cuadrada cuya diagonal
                                                                         mide 22 .
                                                                                 m
                  3. Un tapete tiene forma de triángulo isósceles.
                      El lado desigual mide 30 cm y la altura
                      correspondiente, 24 cm. Se quiere poner en el                       22 m
                      contorno una cinta que se vende a razón de $0,05 el
                      centímetro. ¿Cuánto costará el contorno del tapete?









                  4. ¿Cuál es la altura de una torre que proyecta una
                      sombra de 16 m, si la distancia desde el punto más   8.  En el triángulo PAB, halla la distancia PA, si
                      alto de la torre al extremo de la sombra es de 20 m?
                                                                         PB = 10 cm; AB = 13 cm y BC = 4 cm.
                                                                                  P



                                                                                                X


                  5.  El triángulo mostrado es equilátero.
                                                                           B                                   A
                                                                                   C
                                          90 mm
                                           l
                                 90 mm  90º  h = 78 mm

                                    x
                                  X
                                           90 mm



                                                                                                      Matemática  183
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   183
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   183                                                                       22/11/24   17:01]]></page><page Index="22"><![CDATA[Razones trigonométricas







               DUA. Representación

                                         Las relaciones trigonométricas son igualdades entre expresiones matemáticas que
                                         relacionan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo y se aplican a todos
                                         los ángulos.
                 Interdisciplinariedad
                                         Se utilizan para resolver problemas que involucran triángulos, ángulos y distancias

                 Matemática e historia   en diversas disciplinas, como matemáticas, física, ingeniería, astronomía y muchas
                Hace más de 5 000 años,   otras áreas.
                los matemáticos egipcios   Observemos los siguientes triángulos rectángulos que, a su vez, tienen un ángulo
               conocían la relación entre   agudo congruente.
                el valor de las razones de
               las longitudes de los lados         C
                      y la medida de los                               F                    I
                  ángulos agudos en un                      b
               triángulo rectángulo. Esos         a                  d         e           g      h
                 valores eran útiles en la                      α                 α                 α
                      determinación de             B      c         A E      f        D     H     i     G
                 distancias imposibles de
               medir directamente y, por   Los triángulos anteriores son semejantes por el criterio de semejanza ángulo-ángulo.
                   ello, se establecieron   Si se conoce uno de los ángulos agudos del triángulo, la razón entre dos lados del
                razones trigonométricas.
                                         triángulo es constante.
               ©Shutterstock             En todo triángulo rectángulo, los catetos son los lados   Hipotenusa  B Cateto
                                         que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado más
                                                                                                             opuesto
                                                                                                    c
                                         grande del triángulo, opuesto al ángulo recto.
                                         El cateto adyacente es aquel que forma un lado del              90º  a
                                         ángulo agudo que se está empleando.                  A  Cateto  b   C
                                                                                               adyacente
                                         Razones trigonométricas

                                         El valor de cada razón trigonométrica es independiente de la medida de los lados
                                         del triángulo rectángulo, porque solo depende del valor del ángulo agudo
                                         empleado.

                                            Nombre      Razón trigonométrica        Definición         En la figura
                           Cívica                                                   cateto opuesto         a
                                          Seno                 Sen α ()              hipotenusa
                   La Ley Orgánica de la                                                                   c
                 Educación Intercultural                                           cateto adyacente        b
                 (Ecuador, 2011) estipula   Coseno             Cos α ()              hipotenusa            c
                   la contextualización,
                    valoración, respeto,   Tangente            Tan α ()             cateto opuesto         a
                           desarrollo y                                            cateto adyacente        b
                 transversalización de la                                            hipotenusa            c
                  interculturalidad en el   Cosecante          Csc α ()             cateto opuesto         a
                  sistema de educación
                  nacional. Así, se busca                                            hipotenusa            c
                  fomentar la diversidad   Secante             Sec α ()            cateto adyacente        b
                   cultural y lingüística.
                                                                                  cateto adyacente         b
                                          Cotangente           Cot α ()
                                                                                   cateto opuesto          a


               184   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   184                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   184]]></page><page Index="23"><![CDATA[DUA. Representación

                  Resolución de triángulos rectángulos
                  Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar todas las medidas de sus lados y   Digital
                  ángulos desconocidos a partir de la información proporcionada.
                                                                                                 Para encontrar el valor de
                  Ejemplos                                                                       una razón trigonométrica,

                  a)  Escribe las razones trigonométricas del triángulo rectángulo ABC.          se utilizan las teclas: sen,
                                                                                                 cos, tan. Por ejemplo:
                     Solución
                                    B
                                                                                                  Tecla shift,
                                                                                                  segunda
                                                       7          8         7                     función
                           c = 15 cm  a = 7 cm  Sen α () =  ;.. Cos α () =  ;.. Tan α () =
                                                       15         15         8
                                                       15        15         8
                              α      C         Csc α () =  ;.. Sec α () =  ;.. Cot α () =
                                 A  b = 8 cm           7          8         7                            Teclas de razones
                                                                                                          trigonométricas
                                                                                                 Para hallar el seno de 30°
                  b)  Resuelve el siguiente triángulo rectángulo y escribe todas las razones     se ingresa Sen30.
                     trigonométricas.

                     Solución
                            B
                                                                                                      Ética e integridad
                                   c
                                                 a y b son los catetos, y c es la hipotenusa.
                       a = 5 cm                                                                  Cuando en un grupo hay
                                       30º                                                       personas con discapacidad,
                            C      b       A                                                     es importante coordinar
                                                                                                 tiempos que resulten
                     Primero: hallamos la medida de la hipotenusa.                               cómodos y adecuados
                                5                                                                para la realización o
                         (
                     Sen 30 ) ° =  , despejando la incógnita  c, empleamos una calculadora para   exposición de los trabajos.
                               c               5      5
                     calcular el sen(30°).  c =     =    = 10 cm
                                               (
                                           Sen 30 ) °  0,5
                     Segundo: encontramos la medida del lado b, para lo cual aplicaremos el teorema
                     de Pitágoras.
                                                                                                Interdisciplinariedad
                                                                  2
                                                              2
                               2
                     b = c 2  − a  Reemplazando los datos:  b =  10 − 5 = 8,66  cm
                                                                                                 Geometría y medicina
                                                                                                 En medicina, la
                     Tercero: determinamos la medida del ángulo B. Como aprendimos en temas      matemática tiene una
                     anteriores, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, por lo tanto, si   gran importancia. Ayuda a
                     conocemos el valor de dos ángulos, por sumatoria, obtenemos el valor del tercer   conocer las problemáticas
                     ángulo.                                                                     presentes en una
                                                                                                 comunidad, los factores
                                                                                                 de riesgo o predisposición
                                                                                                 a ciertas patologías y
                     Cuarto: escribimos las razones trigonométricas en relación con el ángulo A.  puede ser muy útil a la
                                                                                                 hora de buscar una
                             5          8,66          5                                          respuesta para las
                     Se A () =  ;..  Cos  A () =  ;.. Tan  A () =
                       n
                             10          10          8,66                                        enfermedades.
                             10          10          8,66                                        Indaga acerca de la
                     Csc  A () =  ;..  Sec  A () =  ;.. Cot  A () =                              relación entre la
                             5          8,66          5
                                                                                                 matemática y la medicina.


                                                                                                      Matemática  185
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   185                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   185]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                    
   ó                                                                   Acción y expresión





               1.  Completa con las razones trigonométricas de     2. Selecciona la expresión correcta según la figura

                   cada triángulo rectángulo dado. Encuentra el lado   mostrada:
                   faltante aplicando el teorema de Pitágoras.            y                     P(x ;  y )
                                                                        y 1                       1  1
                   a)                               B                                          β

                                     24
                                                    12                         α               γ

                            25 º                                           0                    x 1     x
                       A                           C
                                                                      * El ángulo ϒ es recto (ϒ = 90º).
                                                                                  x                       y   x
                                                                      a)  tan(α) =             e)  tan(α) =   1  1
                                                                                   1
                                                                                                             2
                                                                                  y                       xx  + y  2
                                                                                   1                       1 1   1
                                                                                     y                        y
                                                                                                              1
                                                                                      1
                                               (
                      i)   Sen 25 ) °            iv)  Csc 25 ) °      b ) tan(α) =   x  + y  2  f)  sen(α) =   x  + y  2
                            (
                                                                                     2
                                                                                                             2
                                               (
                      ii)  Cos 25 ) °            v)   Sec 25 ) °                    1 x  1                x  1  x 1  1
                            (
                                                                                      1
                                                                                                           1
                      iii)  Tan 25 ) °            vi)  Cot 25 ) °     c)  sen(α) =   x  + y  2      g)  sen(α) =  y x  + y  2
                             (
                                               (
                                                                                                             2
                                                                                     2
                                                                                    1   1                  1 1   1
                   b)                                                                y 1 x                    y
                                                                      d)  cos(α) =    1           h)  cos(α) =   1
                                                                                     2
                                        48 m                                       x  + y 2 2               x  + y  2
                                                                                    1 x  + y
                                                                                    2
                                                                                                             2
                                                                                        1
                                                                                        1
                                                                                    1
                                                                                     y                       1   1
                                                                                      1
                                             38 º                  3.  Escribe  V si la afirmación es verdadera o F si la

                                                                                   x  + y
                                                                                    2
                                                                                         2
                                   52 m                                             1   1

                                                                      afirmación es falsa.
                                                                      a)  Las razones trigonométricas se realizan con
                                                                         base en un ángulo obtuso.           ( ____ )
                                                                      b)  El coseno de un ángulo es igual a la hipote-
                            (
                                               (
                      i)   Sen 38 ) °            iv)  Csc 38 ) °         nusa sobre el cateto adyacente.     ( ____ )
                                               (
                            (
                      ii)  Cos 38 ) °            v)   Sec 38 ) °
                             (
                                               (
                      iii)   Tan 38 ) °            vi)   Cot 38 ) °  4. Resuelve los triángulos rectángulos encontrando
                                                                      todas  las  medidas  del  triángulo  y  escribe  sus
                   c)                                                 razones trigonométricas.
                             55 º                                     a)                        C
                                      100 m
                          a                                                      a = 32,5    67 º
                                                                                                b
                             α = 90 º
                                              β
                                      85 m                                B                     A
                                                                                     c
                                               (
                            (
                      i)   Sen 55 ) °            iv)   Csc 55 ) °        i)   Sen 67 ) °            iv)  Csc 67 ) °
                                                                                                  (
                                                                               (
                                               (
                      ii)  Cos 55 ) °            v)   Sec 55 ) °         ii)  Cos 67 ) °            v)   Sec 67 ) °
                            (
                                                                               (
                                                                                                  (
                      iii)  Tan 55 ) °            vi)  Cot 55 ) °        iii)  Tan 67 ) °            vi)  Cot 67 ) °
                             (
                                               (
                                                                                (
                                                                                                  (
               186   Matemática
                     10.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   186                                                                       22/11/24   17:01
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   186]]></page><page Index="25"><![CDATA[b)    B                                        Actividad cooperativa
                                                                     Trabajen en equipo y resuelvan.
                                                                     6.  Encuentren las medidas de los lados que faltan en
                          a               c                              cada triángulo rectángulo.
                                                                         a)      A
                                               71 º
                                                     A
                           C       b = 122 m                                            c


                                                                                         60 º  B
                                                                                C   a = 54 cm
                                                                         b)
                                                                                    c        b = 232 cm

                         i)   Sen 71 ) °            iv)  Csc 71 ) °            27º  a     90 º
                                                  (
                               (
                         ii)  Cos 71 ) °            v)   Sec 71 ) °
                                                 (
                               (
                         iii)  Tan 71 ) °            vi)  Cot 71 ) °     c)   B
                                (
                                                  (
                                                                               35 º
                  5. Determina, en cada caso, la longitud del segmento
                      indicado con la ayuda de una calculadora.
                          C                                                   C    b = 333 cm  A

                                                                     7. Resuelvan los problemas.
                                          a
                         b                                               a)  Cuál es la altura de un triángulo rectángulo que
                                                                            mide 12 cm de base y el ángulo que forma la hipo-
                                                                            tenusa con su base es 40°.
                           A                c                B

                      a)  ABC =  20 ,..b = 10 ,..ua = ?
                                   °



                                                                         b)  Una niña vuela una cometa a 65 m de la som-
                                                                            bra proyectada perpendicularmente de dicha
                                                                            cometa, y el ángulo formado por la longitud
                                   °
                      b)  ABC = 20 ,..b = 10 ,..uc = ?                     del hilo y el suelo es 65°. ¿Cuál es la longitud del
                                                                            hilo de la cometa?






                      c)  ACB =  30 ,..c =  8,..ub = ?
                                   °
                                                                     Indaguemos
                                                                     8. Investiga dos aplicaciones en la vida cotidiana de
                                                                         las razones trigonométricas y plantea problemas
                                                                         con esos datos.




                                                                                                      Matemática  187
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   187
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   187                                                                       22/11/24   17:02]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                  	 	                                                                          Participación



                  Economía circular y ambiente


               La economía circular es un enfoque que se basa en la reutilización, el
               reciclaje y la idea de mantener el valor de los materiales y energía durante                            ©Shutterstock
               el mayor tiempo posible.

               Según la Empresa Pública de Gestión de Residuos de Quito, en la ciudad
               se producen diariamente 2 200 toneladas de basura, el 60% corresponde
               a desechos orgánicos, que se originan en su mayor parte en los hogares.
               Los desechos orgánicos son importantes en la economía circular, pues
               pueden ser reciclados y reutilizados, contribuyendo así a promover la
               sostenibilidad. Los residuos de alimentos y de jardín pueden reciclarse
               mediante procesos de compostaje y digestión anaeróbica. Estos métodos
               transforman los desechos orgánicos en compost (fertilizante) y biogás
               (energía renovable). El reciclaje convierte los residuos en recursos valiosos.  Economía circular
               Cuando se reciclan los desechos orgánicos pueden volver al suelo como
               compost, enriqueciendo la calidad del suelo y promoviendo la agricultura   Investigo
               sostenible. Esto ayuda a cerrar el ciclo de nutrientes, ya que los nutrientes
               extraídos de la tierra mediante la cosecha de cultivos pueden ser repuestos   ¿Qué cantidad de desecho genera en
               con ese compost.                                                      promedio una persona en Quito?


               Taller

               De acuerdo con la información presentada, responde las preguntas.


               1.  ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a la de economía circular?
                   a)  Un modelo económico que implica desechar los residuos orgánicos.
                   b)  Un modelo económico que implica reutilizar, reciclar y mantener el valor de los materiales y energía duran-
                      te el mayor tiempo posible.
                   c)  Un modelo económico que implica producir y consumir para que todos alcancemos riqueza.


               2.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las siguientes  3.  ¿Cómo se pueden reciclar los residuos orgánicos?
                   afi rmaciones.                                    a)  Mediante procesos de compostaje y digestión

                   a)  En Quito, el 90% de los residuos producidos       anaeróbica.
                      diariamente, corresponden a desechos           b)  Mediante procesos de incineración.
                      orgánicos.                         ( ____ )
                                                                     c)  Mediante procesos de vertido en botaderos.
                   b)  Los desechos orgánicos no pueden ser
                      reciclados ni reutilizados.        ( ____ )  4.  Según el INEC, en Guayaquil cada persona genera
                                                                     un promedio de 83 gramos de desechos al día.
                   c)  El compost y el biogás pueden utilizarse      Calcula cuántos kilogramos de desechos produce
                      como fertilizantes o fuentes de energía        en una semana ese cantón.
                      renovable.                         ( ____ )
                                                                     __________________________________________________




               188   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   188                                                                       22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   188]]></page><page Index="27"><![CDATA[DUA
                     
                                                                           Participación




                  Calculadora trigonométrica Mozama

                  Mozama es una aplicación para tu celular que puedes obtener en forma
                  gratuita y que te ayudará a comprobar los resultados de la resolución de
                  triángulos rectángulos que revisamos en esta unidad.
                  Esta aplicación resuelve triángulos rectángulos, calcula lados, ángulos, razones
                  trigonométricas, áreas y perímetros.
                  Ingresa la tienda de Play Store para Android o App Store para iPhone. En la barra
                  de búsqueda, digita Mozama calculadora trigonométrica.
                  Instala y abre la aplicación.

                  La versión sin pago incluye 4 funciones:
                  Fórmulas: contiene razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, identidades
                  trigonométricas, ley de senos y cosenos.
                  Triángulo rectángulo: resolución de triángulos rectángulos.
                  Triángulos oblicuángulos: resuelve triángulos que no son rectángulos.

                  Funciones: permite calcular el valor de las funciones trigonométricas.
                  Mediante esta aplicación resolveremos el siguiente problema de
                  triángulos rectángulos:
                  Halla los demás elementos de un triángulo rectángulo si su
                  hipotenusa mide 25 cm y uno de sus ángulos agudos es de 40º.
                  Solución:
                  En la aplicación seleccionamos Triángulo rectángulo.

                  Llenamos los datos y presionamos calcular.

                                                                                      Resuelve el siguiente triángulo
                                                                                      rectángulo.





                                                                                                         12



                                                                                                            30°










                     Los catetos miden 19,1511 cm y 16,0697 cm y el ángulo agudo mide 50°.



                                                                                                      Matemática  189
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   189
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   189                                                                       22/11/24   17:02]]></page><page Index="28"><![CDATA[ó                                                                        DUA
                                                                                               Participación



                 Identifica y clasifica tus gastos


                                                                                                                       ©Shutterstock





















               Beatriz es una persona que no clasifica sus gastos y tampoco lleva un registro
               detallado. Entre lo que gana ella y su esposo mensualmente suma 2 000 dólares.   Es importante controlar los
               Durante el mes realiza diferentes gastos y pagos sin un plan claro. Al final del mes   gastos.
               hace cuentas y no está segura de en qué gastó la mayor parte de su salario; tampoco
               sabe si gasta demasiado en cosas no necesarias o si puede ahorrar.
               Clasificar los gastos es importante en la gestión financiera de una empresa o de
               individuo, ya que permite identificar y controlar los gastos y tomar decisiones
               financieras acertadas.
               Al clasificar los gastos, puedes identificar, por ejemplo, si estás gastando demasiado
               en entretenimiento y salidas, y puedes ajustar tu presupuesto para reducir estos
               gastos y aumentar tus ahorros. Además, si clasificas tus gastos puedes diseñar un
               presupuesto a tu medida y que te motive a empezar a ahorrar.
               La clasificación de gastos varía de una persona a otra y dependerá de la situación
               financiera individual. Una clasificación sencilla es:
               •   Gastos fijos o necesarios: vivienda, alimentación, servicios básicos, transporte,
                  educación, deudas, salud.
               •   Gastos variables o flexibles: entretenimiento, compras personales, vacaciones,
                  mascotas, ahorros.
               •   Ahorros e inversiones: ahorros a corto o largo plazo, ahorros para educación,
                  ahorros para compra de auto o vivienda, etc.
                                                                                              Deduzco
               •   Impuestos: prediales, renta, declaraciones, etc.

               •   Otros  gastos: internet,  TV por cable, reparaciones, servicio doméstico, entre   ¿Cuánto debería
                  otros.                                                                      ahorrar una persona
                                                                                              que tiene un ingreso
               Existen normas para distribuir los ingresos. Una regla es 50/30/20, donde el 50% de   mensual de
               ingresos son para necesidades básicas, el 30% a gastos discrecionales y el 20% a   1 350 dólares?
               ahorros. Sin embargo, esta es solo una recomendación y cada persona ajustará
               según sus necesidades y objetivos financieros.

               190   Matemática
                     10.º EGB





         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   190                                                                       22/11/24   17:02
                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   190]]></page><page Index="29"><![CDATA[Taller

                  De acuerdo con la información presentada, responde las preguntas.

                  1.  Explica con tus palabras el problema que tiene Beatriz.
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.  ¿Por qué es importante clasificar los gastos?

                      a)  Para aumentar los gastos en entretenimiento y salidas.
                      b)  Para identificar y controlar los gastos y tomar decisiones financieras acertadas.

                      c)  Para reducir los ahorros.

                  3.  En el último mes, Beatriz, cuyo ingreso conjuntamente con su esposo es de 2 000 dólares, tuvo los siguientes
                      gastos:

                         Arriendo de su departamento: 500 dólares   Cita médica y medicamentos:    Telefonía móvil: 20 dólares
                         Alimentación: 150 dólares              80 dólares                   Cuota del auto: 300 dólares.
                         Luz: 12 dólares                        Matrícula del auto: 200 dólares  Internet: 40 dólares
                         Agua: 8 dólares                        Ropa: 120 dólares            Cena con amigos: 50 dólares.
                         Gasolina: 60 dólares                   Salida al cine: 12 dólares   Tarjeta de crédito: 200 dólares

                      a)  Clasifica los gastos de Beatriz y totaliza cada tipo de gasto.

                             Gastos fijos         Gastos variables           Impuestos              Otros gastos






















                      b)  ¿Qué porcentaje de su sueldo destina a cada gasto?

                            Gastos fijos:                Gastos variables:            Impuestos:
                            Otros gastos:                Ahorros:

                      c)  De acuerdo con lo que se sugiere en la lectura, ¿crees que Beatriz lleva un control de sus gastos?, ¿por qué?
                         _______________________________________________________________________________________________________
                         _______________________________________________________________________________________________________
                         _______________________________________________________________________________________________________



                                                                                                      Matemática  191
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   191
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   191                                                                       22/11/24   17:02]]></page><page Index="30"><![CDATA[DUA
                      
                          Textos y lecturas                            Participación
                                                 desde la Internet

               El telescopio espacial James Webb alcanza su destino en la órbita solar




                                                                                                                    ©Shutterstock


























                 Telescopio espacial James Webb orbitando la Tierra.

               “El telescopio espacial James  Webb de la NASA,  18  segmentos  hexagonales  de  metal  de  berilio
               diseñado para dar al mundo una visión sin precedentes  recubierto de oro, que mide 6,5 metros de ancho.
               de las primeras etapas del universo, alcanzó en enero   Su tamaño y diseño para operar, principalmente en el
               de  2022  su  destino  a casi  1 600  000  km  de  la Tierra,   espectro infrarrojo, permitirán al Webb mirar a través de
               donde girará alrededor del Sol.
                                                                  nubes  de gas  y polvo y  observar objetos a mayores
               El Webb alcanzó, un mes después de su lanzamiento,  distancias.
               una posición de estabilidad orbital entre la Tierra y el   Se espera que estas características marquen el
               Sol, conocida como Lagrange Point Two o L2.
                                                                  comienzo de una revolución en la astronomía,
               Desde su punto de vista en el espacio, Webb seguirá un  brindando una primera visión de las galaxias jóvenes
               camino especial en constante alineación con la Tierra,  que datan de solo 100 millones de años después del
               mientras el planeta y el telescopio giran alrededor del  Big Bang.
               Sol en tándem, lo que permite un contacto por radio   Los instrumentos del  Webb  también lo  hacen ideal
               ininterrumpido.
                                                                  para buscar signos de atmósferas potencialmente
               Este telescopio orbita la Tierra a 547 km de distancia,  sustentadoras de vida, alrededor de decenas de
               entrando y saliendo de la sombra del planeta  exoplanetas recién documentados, y para observar
               exactamente cada 90 minutos.                       mundos mucho más cercanos a casa, como Marte y la
                                                                  luna helada de Saturno, Titán.
               La atracción combinada del Sol y la Tierra en L2 puede
               mantener el telescopio firmemente en su lugar, por lo  El  Webb debería estar listo para comenzar las
               que se necesita poco empuje adicional del cohete para  observaciones a principios del verano, con imágenes
               evitar que el Webb se desvíe. Una posición L2 permite  iniciales utilizadas para demostrar que los instrumentos
               que,  con  una  cantidad  mínima  de  combustible,  funcionan correctamente”.
               permanezca en órbita.                                 Fuente: ABC Ciencia. (25 de enero de 2022). El telescopio espacial

               El centro de operaciones también ha comenzado a         James Webb alcanza su destino en la órbita solar. Obtenido de
                                                                        https://www.abc.es/ciencia/abci-telescopio-espacial-james-
               afinar el espejo principal del telescopio, una matriz de   webb-acerca-destino-orbita-solar-202201251118_noticia.html


               192   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   192                                                                       22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   192]]></page><page Index="31"><![CDATA[ó


                    Luego de la lectura del aprendizaje fundacional lingüístico
                    comunicativo, responde las siguientes preguntas.                                                    ©Shutterstock

                    1. ¿Sobre qué trata el artículo?
                       ___________________________________________________________

                    2.   ¿Cuál es el propósito de este telescopio espacial?

                       ___________________________________________________________
                       ___________________________________________________________

                    3.   ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra el telescopio?           Científicos de la NASA preparando el
                                                                                                telescopio espacial James Webb.
                       ___________________________________________________________

                    4.   ¿Cómo se llama la posición de estabilidad orbital entre la Tierra y el Sol?

                       ___________________________________________________________________________________________________________

                    5.  ¿Cuál es el propósito del autor con este artículo?

                       ___________________________________________________________________________________________________________

                    6.  ¿Cuál es tu opinión en relación con este tema?
                       ___________________________________________________________________________________________________________






                    Actividad personal


                    1.  Investiga en Internet acerca del telescopio Hubble. Elabora un organizador gráfico con la información

                       y compártela en clase.
                    2.  Haz un cuadro comparativo con las principales características y funciones de los telescopios Hubble
                       y Webb. Discute con un compañero sobre esto.

                    3.  Toma de la Web diferentes imágenes sobre el tema y elabora un collage.
                    4.  En la lectura se mencionó el Big Bang. Averigua qué es y elabora una infografía sobre este tema.

                    Actividad colaborativa
                    5.  Formen grupos y utilicen las TIC de su preferencia para crear una
                       infografía digital que resuma la lectura anterior. Presenten su
                       trabajo ante el resto de la clase.  Tomen en cuenta las siguientes                               ©Shutterstock
                       recomendaciones:
                       •  Debe haber un organizador gráfico.

                       •  Hay que incluir imágenes.
                       •  Los textos deben ser concisos y precisos.

                       •   Hay que citar las fuentes de donde se obtuvieron textos e imágenes.

                                                                                                      Matemática  193
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   193                                                                       22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   193]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión





               1.  Escribe (V) si la afirmación es verdadera o (F) si la   b)   BC × AD    = AB × AH
                   afirmación es falsa.
                                                                                      A
                   a)  Dos  triángulos  pueden  ser  congruentes  si
                      tienen todos sus lados son iguales.  ( ____ )                          D

                   b)  Dos  triángulos  pueden  ser  congruentes  si
                      tienen todos sus ángulos iguales.   ( ____ )           B                         C
                                                                                      H
                   c)  Es lo mismo congruencia y semejanza.  ( ____ )

                   d)  Un postulado de congruencia es L.A.L.   ( ____ )


               2.  Encuentra la medida del ángulo x si en el triángu-
                   lo ABC:   AD CD DB≅  ≅                          4.  Halla la suma de los ángulos señalados.

                                                  B
                                                                                                           β


                                         D

                                                                           α
                                                x
                                   40º
                               A                  C






                                                                   5.  En la figura puedes observar una torre y un
                                                                      poste cuyas sombras, en un momento dado, se
               3.  Aplica la semejanza de triángulos en cada gráfico y   superponen. A partir de los datos de la figura,
                   demuestra las siguientes igualdades.               determina la altura de la torre.
                                                                            Torre
                   a)   AB × EC = ED × BC
                               B


                              F         D                                             Poste    5 m


                              A                C
                                 E

                                                                                   2,2 km      1,8 km











               194   Matemática
                     10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   194                                                                       22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   194]]></page><page Index="33"><![CDATA[6. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.
                              A


                                           c
                               8
                                                                         Coevaluación

                                              42°                    9.  Demuestren que ΔABC ≈ ΔDEC
                              C                      B
                                         a                                                B

                                                                                                  D    6
                                                                                                        2

                                                                         A                                       C
                                                                                       E            4
                  7. Encuentra la altura                                                     12
                      del árbol de la figura

                      si sabes que
                             1
                      tg (β) =   ,
                             4
                     siendo β el ángulo marcado y la distancia de este
                     con el árbol es de 24 m.                        10. Resuelvan el siguiente problema.
                                                                         Encuentren la altura del faro de acuerdo con los
                      a)  6 m    b) 7 m     c)  8 m    d)  9 m           datos proporcionados en el siguiente gráfico.








                  8. ¿Cuánto  mide  la hipotenusa  de este triángulo                                   55 º
                      rectángulo, si � es el doble que �, y PQ mide 8 cm?                       d = 350 m
                                                  Q                  11. Expreso mis emociones. Enfrenta con optimismo
                                                                         y entusiasmo los problemas y contrariedades que
                                                                         se puedan presentar en tus actividades escolares.
                                                                         Describe una actitud positiva frente a tus respon-
                             P    �                  �    R              sabilidades académicas.





                                                               Contenido                                                ©Shutterstock
                   ¿Cómo aplicas los conceptos de semejanza y congruencia de triángulos para resolver
                   problemas en situaciones del mundo real?

                   ¿Qué estrategias has utilizado para identificar triángulos congruentes y semejantes en
                   un problema de geometría?
                   ¿Cuál consideras que es la importancia del teorema de Pitágoras en la resolución de
                   problemas de la vida cotidiana?
                   ¿Cómo aplicas las relaciones trigonométricas para resolver problemas que involucran
                   ángulos y longitudes en triángulos?



                                                                                                      Matemática  195
                                                                                                         10.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   17:02
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   195
         Matematica 10 EGB Cultiva.indb   195                                                                       22/11/24   17:02]]></page><page Index="34"/></pages></Search>
